MD-liburua/Predikatu-logika-en iturria ikusi


'''KONTUZ! Fitxategi hau zirriborroa da oraindik. LANEAN ARI GARA'''


= 2. Gaia: Predikatu-logika =

== 2.1 Sarrera ==

Proposizio-logikan, argumentuen baliozkotasuna enuntziatu konposatuak sortzeko asmoz enuntziatu bakunak konbinatzeko eraren menpe dago, baina ez enuntziatuen barne-egituraren menpe.

Adibidez, intuizioz zuzena dirudien argumentu hau hartuko dugu:

: {|
| Txakur guztiak ugaztunak dira.
|-
| Bizi txakurra da.
|-
| Beraz, Bizi ugaztuna da.
|}

Proposizio-kalkuluan, “Txakur guztiak ugaztunak dira” premisa proposizio bakuna da, eta <math display="inline">p</math> atomo batez adierazten dugu. Berdin gertatzen da bigarren premisarekin eta ondorioarekin, “Bizi txakurra da” proposizio bakuna <math display="inline">q</math> atomoaz adieraziko dugu eta “Bizi ugaztuna da” proposizio bakuna <math display="inline">r</math> atomoaz.

Beraz, proposizio-kalkuluan, argumentua honela adieraziko dugu:

<math display="block">\begin{array}{c}
        p \\
        q \\ \hline
        r
  \end{array}</math> 

Eta argumentu hori ez da baliozkoa; izan ere, <math display="inline">I = \{ p,q,\neg r \}</math> interpretaziorako premisak egiazkoak dira eta ondorioa faltsua da.

Hori hala da, argumentuaren baliozkotasuna enuntziatuen barne-egitura logikoaren menpe dagoelako. Horrelako kasuetan, barne-egitura horiek analizatzeko tresnak garatu beharko ditugu. Predikatu-logika proposizio-logikaren hedapena da, analisi horrek behar duen tresna.

Argumentuaren bigarren premisak dio “Bizi” izeneko indibiduoak txakurra izatearen atributua duela. “Bizi” <span>''subjektua''</span> da eta “txakurra” <span>''predikatua''</span> da (subjektuak duen ezaugarri bat adierazten du).

Enuntziatuen egiturak aztertzen ditugunean, funtsean, bi adierazpen-mota hauek interesatzen zaizkigu: alde batetik, indibiduoei (izaki zehatzak: pertsonak, zenbakiak...) dagozkien adierazpenak eta, beste aldetik, indibiduoen propietateak edo indibiduoen arteko erlazioak azaltzen dituzten adierazpenak (predikatuak).

Esate baterako, “Bizi txakurra da”, “Ilargia zuria da”, “2 5 baino txikiagoa da”, “Anek tea nahiago du kafea baino” enuntziatuetan “Bizi”, “ilargia”, “2”, “5”, “Ane”, “tea”, “kafea” indibiduoak dira eta “txakurra da”, “zuria da”, “baino txikiagoa da”, “nahiago du” predikatuak dira, indibiduoen propietateak edo indibiduoen arteko erlazioak azaltzen dituzten adierazpenak.

<span>'''Formalizazioa'''</span>

Indibiduoak adierazteko <math display="inline">a, b, c, \dots</math> letra xeheak erabiliko ditugu. Sinbolo horiek indibiduoak adierazten dituztenez, <span>''konstante''</span> deituko diegu.

Predikatuak adierazteko letra larriak erabiliko ditugu.

Adibidez,

<ol>
<li><p>Bizi txakurra da.</p>
{|
| <math display="inline">b</math>: “Bizi”
|
|-
| <math display="inline">T</math>: “txakurra izan”
| <math display="inline">\ \ \ \ \ T(b)</math>
|}
</li>
<li><p>Ilargia zuria da.</p>
{|
| <math display="inline">i</math>: “ilargia”
|
|-
| <math display="inline">Z</math>: “zuria izan”
| <math display="inline">\ \ \ \ \ Z(i)</math>
|}
</li>
<li><p>2 7 baino txikiagoa da.</p>
{|
| <math display="inline">b</math>: “2”
|
|-
| <math display="inline">z</math>: “7”
| <math display="inline">T(b,z)</math>
|-
| <math display="inline">T</math>: “txikiagoa izan”
|
|}
</li>
<li><p>Anek tea nahiago du kafea baino.</p>
{|
| <math display="inline">a</math>: “Ane”
|
|-
| <math display="inline">t</math>: “tea”
| <math display="inline">\ \ \ \ \ N(a,t,k)</math>
|
|-
| <math display="inline">k</math>: “kafea”
|
|-
| <math display="inline">N</math>: “nahiago izan”
| 
|}
</li></ol>

Aurreko adibideetan ikus dezakegu predikatu batzuetan indibiduoen izen bakarra agertzen dela (banako predikatuak) eta beste batzuetan indibiduoen bi izen edo gehiago agertzen direla (predikatu anizkoitzak: bitarrak, hirutarrak...).

Azter dezagun, orain, predikatu-sinbolo bera duten proposizioak nola formulatzen diren:

: Bizi txakurra da: <math display="inline">T(b)</math>

: Lagun txakurra da: <math display="inline">T(l)</math>

: 7 txakurra da: <math display="inline">T(z)</math>

Proposizio horiek guztiak batera adierazteko <math display="inline">T(x)</math> idatziko dugu. <math display="inline">x</math> letrari <span>''aldagai''</span> esango diogu. Ez da konstantea, eta edozein konstantez ordezka dezakegu.

<math display="inline">T(b)</math>, <math display="inline">T(l)</math>, <math display="inline">T(z)</math> proposizioak dira, hots, esan dezakegu egiazkoak edo faltsuak diren; baina <math display="inline">T(x)</math> ez da egiazkoa, ezta faltsua ere, ez da proposizio.

<math display="inline">T(x)</math> bazalako adierazpenei <span>''proposizio-funtzio''</span> deituko diegu. Banako aldagaiak onartzen dituzten adierazpenak dira, eta proposizio bihurtzen dira banako aldagaien ordez banako konstanteak jartzen ditugunean.

Proposizio-funtzio batetik proposizio bat lortzeko prozesuari, aldagai bat konstante batez ordezkatuz, <span>''instantziazio''</span> deituko diogu, eta ateratzen den proposizioari <span>''ordezkapen-instantzia''</span>.

Esate baterako,

<math display="inline">\neg T(b)</math> (Bizi ez da txakurra) eta <math display="inline">\neg T(z)</math> (7 ez da txakurra) <math display="inline">\neg T(x)</math> proposizio-funtzioaren bi instantziazioren emaitzak dira. <math display="inline">\neg T(b)</math> eta <math display="inline">\neg T(z)</math> <math display="inline">\neg T(x)</math> proposizio-funtzioaren bi ordezkapen-instantzia dira.

Badago beste prozedura bat proposizio-funtzio batetik proposizio bat lortzeko: aldagaiak kuantifikatzea.

Orain arte banako enuntziatuen adibideak ikusi ditugu, zeinetan indibiduo bati propietate bat egokitu zaion edo bi indibiduoren edo gehiagoren arteko erlazio bat ezarri den. Baina enuntziatuak ez dira beti banakoak; adibidez, “Dena zuria da” eta “Zerbait zuria da” proposizio orokorrak dira, ez dute indibiduo-izenik. Hala ere, proposizio-funtzio batetik lor ditzakegu, ez instantziazioen bidez, baizik eta <span>''orokortzearen''</span> edo <span>''kuantifikatzearen''</span> bidez.

Lehenengo adibidea, “Dena zuria da”, beste era honetan ere adieraz dezakegu: “Edozein gauza emanik, gauza hori zuria da”; eta, <math display="inline">x</math> aldagaia erabiliz, “Edozein <math display="inline">x</math> emanik, <math display="inline">x</math> zuria da”.

“Edozein <math display="inline">x</math> emanik” esaldia <span>''zenbatzaile unibertsala''</span> da, eta <math display="inline">\forall x</math> idatziz adieraziko dugu. Sinbolo hori erabiliz, “Dena zuria da” esaldia honela idatziko dugu: <math display="block">\forall x Z(x)</math>

Antzeko eran, “Zerbait zuria da” esaldia honela idatz dezakegu:“Badago gutxienez gauza bat zuria dena”; eta, aldagai batekin, “Badago gutxienez <math display="inline">x</math> bat, non <math display="inline">x</math> zuria den”.

“Badago gutxienez <math display="inline">x</math> bat” esaldia <span>''zenbatzaile existentziala''</span> da, eta <math display="inline">\exists x</math> idatziz adieraziko dugu. Sinbolo hori erabiliz, “Zerbait zuria da” esaldia honela idatziko dugu: <math display="block">\exists x Z(x)</math>

Laburbilduz, “<math display="inline">x</math> zuria da” (<math display="inline">Z(x)</math>) bezalako proposizio-funtzio bat emanik (edo ''enuntziatu irekia''), bi bide dauzkagu proposizio bat lortzeko (edo ''enuntziatua ixteko''):

<ol>
<li><p>Instantziazioa, aldagaia konstante batez ordezkatzea: <math display="inline">Z(i)</math>, “Ilargia zuria da”. Bide honen bidez banako enuntziatua lortuko dugu.</p></li>
<li><p>Orokortzea edo kuantifikazioa, zenbatzaile bat aurrean jartzea: <math display="inline">\forall x Z(x)</math>, “Dena zuria da”; <math display="inline">\exists x Z(x)</math>, “Zerbait zuria da”.</p>
<p>Bide honen bidez enuntziatu orokorra lortuko dugu.</p></li></ol>

Historiari begira, logika tradizionalak lau proposizio-mota nabarmendu zituen; ikus ditzagun adibide hauekin:

* <math display="inline">A</math> (<span>''baiezko proposizio unibertsala''</span>): “Txakur guztiak ugaztunak dira”.
* <math display="inline">E</math> (<span>''ezezko proposizio unibertsala''</span>): “Txakur bat ere ez da ugaztun”.
* <math display="inline">I</math> (<span>''baiezko proposizio partikularra''</span>): “Zenbait txakur ugaztunak dira”.
* <math display="inline">O</math> (<span>''ezezko proposizio partikularra''</span>): “Zenbait txakur ez dira ugaztun”.

<math display="inline">T(x)</math>=”<math display="inline">x</math> txakurra da” eta <math display="inline">U(x)</math>=”<math display="inline">x</math> ugaztuna da” proposizio-funtzioak erabiltzen baditugu, <math display="inline">A</math>, baiezko unibertsala, honela irakur genezake: “Edozein gauza emanik, gauza hori txakurra bada, gauza hori ugaztuna izango da” edo “Edozein <math display="inline">x</math> emanik, <math display="inline">x</math> txakurra bada, <math display="inline">x</math> ugaztuna izango da”. Eta adierazpen sinbolikoan: <math display="block">\forall x (T(x) \rightarrow U(x)).</math>

Era berean gainerako hiru proposizioekin:

<math display="inline">E</math>: “Edozein <math display="inline">x</math> emanik, <math display="inline">x</math> txakurra bada, <math display="inline">x</math> ez da ugaztun”. Adierazpen sinbolikoan: <math display="block">\forall x (T(x) \rightarrow \neg U(x))</math>

<math display="inline">I</math>: “Badago gutxienez <math display="inline">x</math> bat, non <math display="inline">x</math> txakurra den eta <math display="inline">x</math> ugaztuna den”. Adierazpen sinbolikoan: <math display="block">\exists x (T(x) \wedge U(x))</math>

<math display="inline">O</math>: “Badago gutxienez <math display="inline">x</math> bat, non <math display="inline">x</math> txakurra den eta <math display="inline">x</math> ez den ugaztun”. Adierazpen sinbolikoan: <math display="block">\exists x (T(x) \wedge \neg U(x))</math>

<span>'''Adibideak'''</span>
<ol>
<li><p>Arranoek altu egiten dute hegan: <math display="inline">\forall x (A(x) \rightarrow H(x))</math>.</p>
<p>Arranoek bakarrik hegan egiten dute altu: <math display="inline">\forall x (H(x) \rightarrow A(x))</math>.</p></li>
<li><p>Beroki bat ere ez da iragazgaitza ez bada bereziki tratatua izan: <math display="block">\forall x (B(x) \wedge I(x) \rightarrow T(x)).</math></p></li>
<li><p>Zenbaki arrazional bakoitza zenbaki erreala da, baina zenbait zenbaki erreal ez dira arrazional: <math display="block">\forall x (Q(x) \rightarrow R(x)) \wedge \exists x (R(x) \wedge \neg Q(x)).</math></p></li>
<li><p>Edozein zenbaki arrunten hurrengoa zenbaki arrunta da: <math display="block">\forall x \forall y (N(x) \wedge H(y,x) \rightarrow N(y)), \quad (H(y,x): \mbox{ y x-ren hurrengoa da}).</math></p></li>
<li><p>Edozein zenbaki arrunten hurrengoa zeroren desberdina da: <math display="block">\forall x \forall y (N(x) \wedge H(y,x) \rightarrow \neg B(y,a)), \quad (B(y,x): y = x; a : 0).</math></p></li></ol>

== 2.2 Sintaxia ==

<span>'''2.1 Definizioa.'''</span> Predikatu-kalkuluaren <math>\mathcal{A}</math> <span>'''alfabetoa'''</span> sinbolo hauek osatzen dute:

# <span>'''Aldagaiak'''</span>: <math>\mathcal{V} = \{x,y,z,\ldots \}</math>;
# <span>'''Konstanteak'''</span>: <math>\mathcal{C} = \{a,b,c,\ldots \}</math>;
# <span>'''Predikatuak'''</span>: <math>\mathcal{P} = \{P,Q,R,\ldots \}</math>; <math>P</math> predikatu bakoitzak zenbaki arrunt bat darama elkarturik, predikatuak onartzen duen aldagaien edo konstanteen kopurua adierazten duena, hain zuzen; zenbaki horri predikatuaren <span>'''aritate'''</span> deituko diogu eta <math>ar(P)</math> idatziko dugu.
# <span>'''Lokailu logikoak'''</span>: <math>\{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \}</math>.
# <span>'''Zenbatzaileak'''</span> : <math>\{ \forall</math>, <math>\exists \}</math>.
# <span>'''Sinbolo inpropioak'''</span>: <math>\{ (, ), , \}</math> (parentesiak eta komak).

<math>\mathcal{A} = \mathcal{V} \cup \mathcal{C} \cup \mathcal{P} \cup \{ \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \} \cup \{ (, ), , \}.</math> 

<span>'''2.2 Definizioa.'''</span> Aldagaiei eta konstanteei <span>'''lehen ordenako termino'''</span> deituko diegu. 

<span>'''2.3 Definizioa.'''</span> <math>P</math> <math>n</math> aritateko predikatu-sinbolo bat bada eta <math>t_1,\ldots,t_n</math> terminoak badira, <math>P(t_1,\ldots,t_n)</math> <span>'''atomo'''</span> bat edo <span>'''formula atomiko'''</span> bat da. 

<span>'''2.4 Adibidea.'''</span> Har ditzagun <math>\mathcal{V} = \{x,y,z\}</math> aldagaien multzoa, <math>\mathcal{C} = \{a,b\}</math> konstanteen multzoa eta <math>\mathcal{P} = \{P,Q,R,S\}</math> predikatuen multzoa, <math>ar(P) = 1</math>, <math>ar(Q) = 3</math>, <math>ar(R) = 2</math>, <math>ar(S) = 3</math> aritateak barne.

Hona hemen atomo batzuk: <math>P(x)</math>, <math>P(b)</math>, <math>Q(x,a,y)</math>, <math>Q(x,y,x)</math>, <math>R(x,y)</math>, <math>S(a,b,b)</math>.
</br >
Honako hauek, ordea, ez dira atomo: <math>P(x,y)</math>, <math>Q(a)</math>. 

<span>'''2.5 Definizioa.'''</span> Predikatu-kalkuluan <span>'''formula ongi eratuak'''</span> (foe) arau hauei jarraituz eraikiko ditugu:

# Atomo bat formula ongi eratua da.
# <math>A</math> eta <math>B</math> formula ongi eratuak badira, <math>(\neg A)</math>, <math>(A \wedge B)</math>, <math>(A \vee B)</math>, <math>(A \rightarrow B)</math> eta <math>(A \leftrightarrow B)</math> ere formula ongi eratuak dira.
# <math>A</math> formula ongi eratu bat bada eta <math>x</math> aldagai bat bada, <math>(\forall x A)</math> eta <math>(\exists x A)</math> formula ongi eratuak dira.
# Aurreko hiru arauak kopuru finitu aldiz erabiliz lortzen diren formulak soilik dira formula ongi eratuak.

<span>'''2.6 Adibidea.'''</span> Har ditzagun <math>\mathcal{V} = \{x,y,z\}</math> aldagaien multzoa, <math>\mathcal{C} = \{a,b\}</math> konstanteen multzoa eta <math>\mathcal{P} = \{P,Q,R\}</math> predikatuen multzoa, <math>ar(P) = 1</math>, <math>ar(Q) = 3</math>, <math>ar(R) = 2</math> aritateak barne.

Hona hemen formula ongi eratu batzuk: <math>P(x)</math>, <math>P(b)</math>, <math>Q(x,a,y)</math>, <math>R(y,a)</math>, <math>(\exists y R(y,a))</math>, <math>(\exists x R(y,a))</math>, <math>(\forall x P(x))</math>, <math>((\neg P(x)) \rightarrow Q(x,a,y))</math>, <math>(\forall z (((\neg P(x)) \rightarrow Q(x,a,y)) \wedge (\exists x R(y,a))))</math>.
</br >
Honako hauek, aldiz, ez dira formula ongi eratu: <math>(\forall a P(x))</math>, <math>(\forall P(x,y))</math>, <math>(\forall x,y P(x,y))</math>. 

Proposizio-kalkuluan bezala, bi eratan ken ditzakegu parentesi batzuk, nahasteko arriskurik ez dagoenean eta zenbatzaileen eta lokailuen artean hierarkia bat definituz:

* 1. maila: <math>\neg</math>, <math>\forall</math>, <math>\exists</math>.
* 2. maila: <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>.
* 3. maila: <math>\rightarrow</math>, <math>\leftrightarrow</math>.

<span>'''2.7 Adibideak.'''</span>

# <math>(\forall z ((P(x) \wedge R(x,z)) \rightarrow Q(x,a,y)))</math> formula honela idatz dezakegu: <math>\forall z (P(x) \wedge R(x,z) \rightarrow Q(x,a,y))</math>.
# <math>\forall x P(x) \rightarrow R(x,y)</math> formula <math>((\forall x P(x)) \rightarrow R(x,y))</math> formula da, eta ez <math>(\forall x (P(x) \rightarrow R(x,y)))</math>.
# <math>\forall x \forall y R(x,y) \vee P(y)</math> formula <math>((\forall x (\forall y R(x,y))) \vee P(y))</math> formula da.

<span>'''2.8 Definizioa.'''</span> <math>A</math> formula emanik, <math>A</math> formularen <span>'''azpiformula'''</span> <math>A</math> formularen zatia den ondoz ondo eraikitako formula ongi eratu bat da. 

Adibidez, <math>A = \forall x P(x) \rightarrow R(x,y)</math> formula emanik, <math>\forall x P(x)</math> eta <math>R(x,y)</math> azpiformulak dira, baina <math>P(x) \rightarrow R(x,y)</math> ez da azpiformula.

<span>'''2.9 Definizioa.'''</span> Formula batean, zenbatzaile baten <span>'''agerpen'''</span> baten <span>'''irismena'''</span> agerpen horrek eragiten duen azpiformula da. 

<span>'''2.10 Adibideak.'''</span>

# <math>\forall x \exists y R(x,y)</math> formulan, <math>\exists y</math> zenbatzailearen irismena <math>R(x,y)</math> azpiformula da, eta <math>\forall x</math> zenbatzailearena <math>\exists y R(x,y)</math>.
# <math>\forall y (\exists x R(x,y) \vee P(x))</math> formulan, <math>\exists x</math> zenbatzailearen irismena <math>R(x,y)</math> azpiformula da, eta <math>\forall y</math> zenbatzailearena <math>\exists x R(x,y) \vee P(x)</math>.
# <math>\forall y (R(x,y) \rightarrow \forall x \exists y Q(x,a,y))</math> formulan, <math>\exists y</math> zenbatzailearen irismena <math>Q(x,a,y)</math> azpiformula da, <math>\forall x</math> zenbatzailearena <math>\exists y Q(x,a,y)</math> azpiformula da, eta <math>\forall y</math> zenbatzailearena <math>R(x,y) \rightarrow \forall x \exists y Q(x,a,y)</math>.

<span>'''2.11 Definizioa.'''</span> Aldagai baten agerpen bat formula batean <span>'''lotua'''</span> da zenbatzaile batekin badago edo aldagaia erabiltzen duen zenbatzaile baten irismenaren barne badago. Agerpena <span>'''askea'''</span> da ez bada lotua.

Aldagai bat <span>askea</span> da formula batean gutxienez aldagaiaren agerpen bat askea bada formulan. Aldagai bat <span>lotua</span> da formula batean gutxienez aldagaiaren agerpen bat lotua bada formulan. Ohar gaitezen aldagai bat aldi berean askea eta lotua izan daitekeela.

<span>'''2.12 Definizioa.'''</span> Formula bat <span>'''itxia'''</span> da ez badauka aldagai askeen agerpenik.

<span>'''2.13 Adibideak.'''</span>

<ol>
<li><p><math>\forall x R(x,y)</math>.</p>
<p>Zenbatzaileen agerpenen irismenak azpimarratuko ditugu, eta irismenei eta zenbatzaileek lotzen dituzten aldagaien agerpenei azpiindize bera jarriko diegu:</p>
<p><math>\forall x_1 \underline{R(x_1,y)}_1</math>. <math>x</math> lotua da; <math>y</math> askea da.</p></li>
<li><p><math>\forall x \exists y (R(x,y) \rightarrow \forall x P(x))</math>.</p>
<p>Jakiteko zenbatzaileen agerpen bakoitzak aldagaien zer agerpen lotzen dituen, formularen barrutik kanpora joango gara, formula eraikitzeko bideari jarraituz.</p>
<p><math>\forall x_3 \underline{\exists y_2 \underline{(R(x_3,y_2) \rightarrow \forall x_1 \underline{P(x_1)}_1)}_2}_3</math>. <math>x</math>, <math>y</math> lotuak dira eta formula itxia da.</p></li>
<li><p><math>\exists x \forall y R(x,y) \vee \exists z Q(x,a,z)</math>.</p>
<p><math>\exists x_2 \underline{\forall y_1 \underline{R(x_2,y_1)}_1}_2 \vee \exists z_3 \underline{Q(x,a,z_3)}_3</math>. <math>x</math> askea eta lotua da; <math>y</math>, <math>z</math> lotuak dira.</p></li>
<li><p><math>\forall x \exists y R(x,y) \rightarrow \forall x P(x)</math>.</p>
<p><math>\forall x_2 \underline{\exists y_1 \underline{R(x_2,y_1)}_1}_2 \rightarrow \forall x_3 \underline{P(x_3)}_3</math>. <math>x</math>, <math>y</math> lotuak dira eta formula itxia da.</p></li></ol>

== 2.3 Semantika ==

Proposizio-kalkuluan interpretazio bat atomoei egia-balioak esleitzea zen. Predikatu-kalkuluan aldagaiak erabiltzen ditugunez, hori baino zerbait gehiago beharko dugu.

Lehendabizi, kontuan izan behar dugu zer objektu izan daitezkeen aldagaiaren balioak (hots, aldagaiaren definizio-eremua). Esaterako, demagun <math>Z(x,y)</math> formulak “<math>x</math> <math>y</math>-ren zatitzailea dela” esan nahi duela. <math>x</math> eta <math>y</math> aldagaiak zenbaki osoz ordezkatzen baditugu, proposizio bat lortuko dugu, egiazkoa edo faltsua izango dena. Baina aldagaiak zuhaitz-izenez ordezkatzen baditugu, ez da horrela gertatzen. Ez du zentzurik “Pagoak haritza zatitzen du” esateak. Dena dela, horrelako eztabaida baztertuko dugu suposatuz <math>D</math> <span>''eremu''</span> ez-huts bat dagoela, non <math>D</math> eremuaren elementuak aldagaien balioak diren.

Suposatuko dugu <math>D</math> multzo ez-hutsa ez dugula ezagutzen; hau da, saiatuko gara predikatu-logika garatzen edozein <math>D</math> multzo ez-huts erabiliz.

Adibidez, <math>D</math> eremuak bi elementu baditu, elementuei 1 eta 2 deituko diegu; orduan, <math>D = \{1,2\}</math> idatz dezakegu. <math>P</math> 3 aritateko predikatu bat bada, <math>P(x,y,z)</math> adierazpenean <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aldagaiek 1 eta 2 balioak har ditzakete: <math>P(1,1,1)</math>, <math>P(1,1,2)</math>, ..., <math>P(2,2,2)</math>.

Guztira, <math>2^3 = 8</math> aukera ditugu, 1 eta 2 zenbakiekin osa ditzakegun hirukote guztiak, hain zuzen. Hirukote horien multzoa honela adieraziko dugu: 

<math>D^3 = \{ (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) \}</math> 

Antzeko eran, <math>D^2 = \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}</math> dugu.

<math>D = \{1,2,3\}</math> eremua badugu, <math>3^2 = 9</math> bikoteen multzoa hau izango da: 

<math>D^2 = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) \},</math> 

eta <math>3^3 = 27</math> hirukoteen multzoa beste hau: 

<math>D^3 = \{ (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), \ldots, (3,3,3) \}.</math>

Oro har, <math>D</math> eremuak <math>m</math> elementu baditu, <math>D^n</math> multzoak <math>m^n</math> <math>n</math>-kote izango ditu.

Orain, <math>P(x,y,z)</math> formulatik <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aldagaiak <math>D^3</math> multzoaren <math>(d_1,d_2,d_3)</math> hirukotearen balioez ordezkatzean lortzen den proposizioa egiazkoa edo faltsua izango da (baina ez biak). Hori <math>D^3</math> multzoaren hirukote bakoitzarekin gertatuko da; beraz, 3 aritateko <math>P</math> predikatuari <math>\varphi</math> funtzio bat esleitu ahal izango diogu; funtzio horrek <math>D^3</math> multzoaren hirukote bakoitzari <math>E</math> edo <math>F</math> balioa esleituko dio, hau da, <math>\varphi: D^3 \longrightarrow \{E, F\}</math> funtzio bat izango dugu.

Adibidez, <math>D = \{1,2\}</math> bada, demagun <math>P(1,1,1)</math>, <math>P(1,2,1)</math>, <math>P(1,2,2)</math> proposizioei <math>E</math> balioa esleitzen diegula, eta gainerakoei <math>F</math> balioa. Orduan, <math>P</math> predikatuari esleitzen diogun funtzioa hau da: 

<math>\begin{array}{llll}
        \varphi : & D^3 & \rightarrow & \{E, F\} \\
                  & 111 & \mapsto     & E \\
                  & 112 & \mapsto     & F \\
                  & 121 & \mapsto     & E \\
                  & 122 & \mapsto     & E \\
                  & 211 & \mapsto     & F \\
                  & 212 & \mapsto     & F \\
                  & 221 & \mapsto     & F \\
                  & 222 & \mapsto     & F
  \end{array}</math>

<math>D^3</math> zutabean <math>111, 112, ...</math> idatzi dugu, <math>(1,1,1), (1,1,2), ...</math> idatzi beharrean, idazkera sinplifikatzeko asmoz. Horrela egingo dugu nahasteko arriskurik ez dagoenean.

Funtzio horri 3 aritateko ''funtzio logiko'' deituko diogu, eta honela adieraziko dugu: 

<math>\begin{array}{cc}
        D^3 & \varphi \\ \hline
        111 & E \\
        112 & F \\
        121 & E \\
        122 & E \\
        211 & F \\
        212 & F \\
        221 & F \\
        222 & F
  \end{array}</math>

<math>D = \{1,2\}</math> eremuaren kasuan 3 aritateko <math>2^8 = 256</math> funtzio logiko daude <math>P</math> predikatuari esleitu ahal izateko: 

<math>\begin{array}{cccccc}
        D^3 & \varphi_1 & \varphi_2 & \varphi_3 & \ldots & \varphi_{256} \\ \hline
        111 & E         & E         & E         & \ldots & F \\
        112 & E         & E         & E     & \ldots & F \\
        121 & E         & E         & E     & \ldots & F \\
        122 & E         & E         & E     & \ldots & F \\
        211 & E         & E         & E     & \ldots & F \\
        212 & E         & E         & E     & \ldots & F \\
        221 & E         & E         & F     & \ldots & F \\
        222 & E         & F         & E     & \ldots & F
  \end{array}</math>

Antzera, <math>P</math> <math>n</math> aritateko predikatu bakoitzari <math>n</math> aritateko funtzio logiko bat esleituko diogu, <math>\varphi: D^n \longrightarrow \{E,F\}</math>.

<math>D</math> eremuak <math>m</math> elementu baditu, <math>D^n</math> multzoak <math>m^n</math> elementu izango ditu; eta, beraz, <math>n</math> aritateko <math>2^{(m^n)}</math> funtzio logiko daude.

<span>'''2.14 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li><p>Izan bedi <math>D = \{1,2\}</math> eremua.</p>
<p>1 aritateko funtzio logikoak: </p>

<math>\begin{array}{ccccc}
        D & \varphi_1 & \varphi_2 & \varphi_3 & \varphi_4 \\ \hline
        1 & E         & E     & F         & F \\
        2 & E         & F     & E         & F
  \end{array}</math> 

2 aritateko funtzio logikoak: 

<math>\begin{array}{cccccc}
        D^2 & \varphi_1 & \varphi_2 & \varphi_3 & \ldots & \varphi_{16} \\ \hline
        11  & E       & E     & E           & \ldots & F \\
        12  & E       & E     & E           & \ldots & F \\
        21  & E       & E     & F           & \ldots & F \\
        22  & E       & F     & E           & \ldots & F
  \end{array}</math></p></li>
<li><p>Izan bedi <math>D = \{1,2,3\}</math> eremua.</p>
<p>2 aritateko funtzio logikoak: </p>

 <math>\begin{array}{ccccc}
        D^2 & \varphi_1 & \varphi_2 & \ldots & \varphi_{512} \\ \hline
        11  & E     & E     & \ldots & F \\
        12  & E     & E     & \ldots & F \\
        13  & E     & E     & \ldots & F \\
        21  & E     & E         & \ldots & F \\
        22  & E     & E         & \ldots & F \\
        23  & E     & E     & \ldots & F \\
        31  & E     & E     & \ldots & F \\
        32  & E     & E     & \ldots & F \\
        33  & E     & F     & \ldots & F
  \end{array}</math></p></li></ol>

<span>'''2.15 Definizioa.'''</span> <math>A</math> formula ongi eratu baten <span>'''interpretazio'''</span> bat emateko <math>D</math> eremu ez-huts bat hartuko dugu eta <math>A</math> formulan agertzen diren konstanteei, aldagai askeei eta predikatu-sinboloei balioak esleituko dizkiegu honela:

# konstante bakoitzari <math>D</math> eremuaren elementu bat esleituko diogu;
# aldagai aske bakoitzari <math>D</math> eremuaren elementu bat esleituko diogu;
# <math>n</math> aritateko predikatu-sinbolo bakoitzari <math>n</math> aritateko funtzio logiko bat esleituko diogu.

Batzuetan, <math>D</math> eremua azpimarratzeko, <math>D</math> eremuaren <span>gaineko</span> interpretazioaz hitz egingo dugu. 

<span>'''2.16 Adibidea.''' </span> <math>A = P(x) \wedge \forall x Q(x,a)</math>.

Konstanteak: <math>a</math>.

Aldagai askeak: <math>x</math>.

Predikatu-sinboloak: <math>P</math>, <math>Q</math>; <math>ar(P) = 1</math>, <math>ar(Q) = 2</math>.

Interpretazio batzuk:

# <math>\begin{array}{cccc}
D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{cccc}
               x & a & P      & Q \\ \hline
               1 & 2 & \alpha & \beta
               \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                              D & \alpha \\ \hline
                              1 & E \\
                              2 & F
                              \end{array} &
                                                      \quad
\begin{array}{cc}
      D^2 & \beta \\ \hline
      11  & E \\
      12  & F \\
      21  & F \\
      22  & E
\end{array}
  \end{array}</math>
# <math>\begin{array}{cccc}
D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{cccc}
               x & a & P & Q \\ \hline
               2 & 2 & \alpha & \beta
               \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                              D & \alpha \\ \hline
                              1 & E \\
                              2 & E
                              \end{array} &
                                                      \quad
\begin{array}{cc}
      D^2 & \beta \\ \hline
      11  & E \\
      12  & F \\
      21  & F \\
      22  & E
\end{array}
  \end{array}</math>

<span>'''2.17 Definizioa.'''</span> <math>G</math> formula ongi eratu bat eta <math>G</math> formularen <math>D</math> eremuaren gaineko <math>I</math> interpretazio bat emanik, <math>G</math> formularen <span>'''egia-balioa'''</span> <math>I</math> interpretaziorako honela kalkulatuko dugu:

<ol>
<li><p><math>G = (\neg A)</math>, <math>G = (A \wedge B)</math>, <math>G = (A \vee B)</math>, <math>G = (A \rightarrow B)</math> edo <math>G = (A \leftrightarrow B)</math> bada, egia-balioa proposizio-kalkuluan bezala kalkulatuko dugu.</p></li>
<li><p><math>G = (\forall x A)</math> edo <math>G = (\exists x A)</math> bada, <math>A</math> formularen egia-balioa kalkulatuko dugu <math>x</math> aldagaiak <math>A</math> formulan duen agerpen aske bakoitza <math>D</math> eremuaren elementu guztiez ordezkatuz; horrela, <math>x</math> aldagaiaren funtzio logiko bat lortuko dugu: 
</br >
<math>\begin{array}{cc}
    x      & A^* \\ \hline
    1      & E \\
    2      & F \\
    \vdots & \vdots
  \end{array}</math> 
</br >
<math>V(\forall x A,I) = E</math> da funtzio logiko horrek <math>E</math> balioa hartzen badu <math>D</math> eremuaren elementu guztietarako, hau da, <math>A^*</math> zutabean dena <math>E</math> bada. Bestela, hau da, <math>A^*</math> zutabean gutxienez <math>F</math> bat badago, <math>V(\forall x A,I) = F</math>.</p>
<p><math>V(\exists x A,I) = E</math> da funtzio logiko horrek <math>E</math> balioa hartzen badu gutxienez <math>D</math> eremuaren elementu baterako, hau da, <math>A^*</math> zutabean gutxienez <math>E</math> bat badago. Bestela, hau da, <math>A^*</math> zutabean dena <math>F</math> bada, <math>V(\exists x A,I) = F</math>.</p></li></ol>

<span>'''2.18 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li><p><math>A = \forall x P(x)</math></p>
<p><math>A</math> formularen <math>I</math> interpretazio bat emateko <math>D</math> eremu bat hartuko dugu eta <math>P</math> predikatu-sinboloari 1 aritateko <math>\alpha</math> funtzio logiko bat esleituko diogu. Bi elementuko eremu baten gainean 1 aritateko lau funtzio logiko daude. Konstanterik eta aldagai askerik ez dagoenez, eta 1 aritateko predikatu bakarra dagoenez, guztira lau interpretazio izango ditugu (bi elementuko eremu baten gainean). Hona hemen horietako bat: 
</br >
<math>\begin{array}{cccc}
I: & D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{c}
                P \\ \hline
                \alpha
                \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                               D & \alpha \\ \hline
                               1 & E \\
                               2 & F 
                               \end{array}
  \end{array}</math> 
</br >
<math>V(A,I)</math> kalkulatzeko honela jokatuko dugu:</p>
<ol>
<li><p>Funtzio logikoa formulan ordezkatu: <math>A^* = \forall x \alpha(x)</math>.</p></li>
<li><p>Formula <math>\forall x</math> (zenbatzaile) motakoa denez, zenbatzailearen (<math>\alpha(x)</math>) irismenaren egia-balioa kalkulatuko dugu <math>x</math> aldagaiak <math>\alpha(x)</math> adierazpenean duen agerpen aske bakoitza <math>D</math> eremuaren elementu bakoitzaz ordezkatuz: 
</br >
<math>\begin{array}{cc}
    x \quad & \alpha(x) \\ \hline
    1 \quad & \alpha(1) = E \\
    2 \quad & \alpha(2) = F \\
  \end{array}</math> 
</br >
Taulan <math>F</math> bat agertzen denez, <math>\forall x \alpha(x) = F</math> da.</p></li></ol>

<p>Hau da, <math>V(A,I) = F</math> da.</p></li>
<li><p><math>A = \exists x \neg P(x)</math></p>
<p>Bi elementuko eremu baten gainean lau interpretazio daude. Har dezagun <math>A</math> formularen interpretazio hau:
</br >
<math>\begin{array}{cccc}
I: & D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{c}
                P \\ \hline
                \alpha
                \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                               D & \alpha \\ \hline
                               1 & F \\
                               2 & E
                               \end{array}
  \end{array}</math></p>
<ol>
<li><p>Funtzio logikoa formulan ordezkatu: <math>A^* = \exists x \neg \alpha(x)</math>.</p></li>
<li><p>Formula <math>\exists x</math> (zenbatzaile) motakoa denez, zenbatzailearen (<math>\neg \alpha(x)</math>) irismenaren egia-balioa kalkulatuko dugu <math>x</math> aldagaiak <math>\neg \alpha(x)</math> adierazpenean duen agerpen aske bakoitza <math>D</math> eremuaren elementu bakoitzaz ordezkatuz. Bestalde, <math>\neg \alpha(x)</math> adierazpena <math>\neg</math> motakoa da, beraz, proposizio-kalkuluan bezala kalkulatuko dugu: 
</br>
<math>\begin{array}{ccc}
    x \quad & \alpha(x)       & \neg \alpha(x) \\ \hline
    1 \quad & \alpha(1) = F \quad & E \\
    2 \quad & \alpha(2) = E \quad & F \\
  \end{array}</math> 
</br>
Taulan <math>E</math> bat agertzen denez, <math>\exists x \neg \alpha(x) = E</math> da.</p></li></ol>

<p>Beraz, <math>V(A,I) = E</math> da.</p></li>
<li><p><math>A = P(x) \vee \forall y (P(y) \rightarrow Q(a))</math></p>
<p><math>2 \cdot 2\cdot 4 \cdot 4 = 64</math> interpretazio daude bi elementuko eremu baten gainean (aldagai aske bat, konstante bat eta bi predikatu-sinbolo). Interpretazio hau hartuko dugu: 
</br >
<math>\begin{array}{ccccc}
I: & D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{cccc}
                x & a & P      & Q \\ \hline
                2 & 1 & \alpha & \beta
                \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                               D & \alpha \\ \hline
                               1 & E \\
                               2 & F
                               \end{array}
                                                           & \quad
\begin{array}{cc}
      D & \beta \\ \hline
      1 & F \\
      2 & F
\end{array}
  \end{array}</math></p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \alpha(2) \vee \forall y (\alpha(y) \rightarrow \beta(1)) = F \vee \forall y (\alpha(y) \rightarrow F)</math>.</p></li>
<li><p><math>\forall y (\alpha(y) \rightarrow F)</math> kalkulatu behar dugu:
</br > <math>\begin{array}{ccc}
    y \quad & \alpha(y)       & \alpha(y) \rightarrow F \\ \hline
    1 \quad & \alpha(1) = E \quad & F \\
    2 \quad & \alpha(2) = F \quad & E \\
  \end{array}</math> 
</br ><math>\forall y</math> motakoa denez, eta taulan <math>F</math> bat agertzen denez, <math>\forall y (\alpha(y) \rightarrow F) = F</math> da.</p>
<p>Eta, hortik, <math>A^* = F \vee F = F</math> da.</p></li></ol>

<p>Beraz, <math>V(A,I) = F</math> da.</p></li>
<li><p><math>A = \forall x \exists y P(x,y)</math></p>
<p><math>D = \{1,2,3\}</math> eremuaren gainean <math>2^9 = 512</math> interpretazio daude; hau hartuko dugu: 
</br >
<math>\begin{array}{cccc}
I: & D = \{1,2,3\} & \quad \begin{array}{c}
                  P \\ \hline
                  \alpha
                  \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                                D^2 & \alpha \\ \hline
                                11  & E \\
                                                            12  & E \\
                                                            13  & F \\
                                                            21  & F \\
                                                            22  & E \\
                                                            23  & E \\
                                                            31  & F \\
                                                            32  & F \\
                                                            33  & E
                                                             \end{array}
  \end{array}</math></p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \forall x \exists y \alpha(x,y)</math>.</p></li>
<li><p><math>\forall x \exists y \alpha(x,y)</math> kalkulatu behar dugu; hona hemen dagokion taula: 
</br ><math>\begin{array}{ccc}
    x \quad & \exists y \alpha(x,y) \\ \hline
    1 \quad & \exists y \alpha(1,y) \\
    2 \quad & \exists y \alpha(2,y) \\
    3 \quad & \exists y \alpha(3,y) \\
  \end{array}</math> 
</br ><math>\exists y \alpha(1,y)</math> adierazpena <math>\exists y</math> motakoa denez, dagokion taula eraiki beharko dugu; eta berdin <math>\exists y \alpha(2,y)</math> eta <math>\exists y \alpha(3,y)</math> adierazpenekin. Beraz, taula baten barnean hiru taula izango ditugu; honela: 
</br >
<math>\begin{array}{ccc}
    x \quad &               & \exists y \alpha(x,y) \\ \hline
    1 \quad & \left. \begin{array}{ccc}
                   y \quad & \alpha(1,y) \\ \hline
                               1 \quad & \alpha(1,1) = E \\
                               2 \quad & \alpha(1,2) = E \\
                               3 \quad & \alpha(1,3) = F \\
                         \end{array} \right\} \quad & \exists y \alpha(1,y) = E \\
    2 \quad & \left. \begin{array}{ccc}
                   y \quad & \alpha(2,y) \\ \hline
                               1 \quad & \alpha(2,1) = F \\
                               2 \quad & \alpha(2,2) = E \\
                               3 \quad & \alpha(2,3) = E \\
                         \end{array} \right\} \quad & \exists y \alpha(2,y) = E \\
    3 \quad & \left. \begin{array}{ccc}
                   y \quad & \alpha(3,y) \\ \hline
                               1 \quad & \alpha(3,1) = F \\
                               2 \quad & \alpha(3,2) = F \\
                               3 \quad & \alpha(3,3) = E \\
                         \end{array} \right\} \quad & \exists y \alpha(3,y) = E
  \end{array}</math> 
</br ><math>\forall x</math> motakoa denez, eta (eskuineko) taulan dena <math>E</math> denez, <math>\forall x \exists y \alpha(x,y) = E</math> da.</p></li></ol>

<p>Hortaz, <math>V(A,I) = E</math> da.</p></li></ol>

== 2.4 Baliozkotasuna. Inkontsistentzia. Ondorio logikoak ==

Baliozkotasunaren, kontsistentziaren eta ondorio logikoaren definizioek bere horretan diraute, proposizio-kalkuluan bezala.

<span>'''2.19 Definizioa.'''</span> <math>A</math> formula bat <span>'''tautologia'''</span> edo <span>'''baliozkoa'''</span> da <math>A</math> formularen interpretazio guztietarako egiazkoa bada. <math>A</math> formula <span>baliogabea</span> da ez bada baliozkoa.

<math>A</math> formula bat <span>'''kontsistentea'''</span> da gutxienez <math>A</math> formularen interpretazio baterako egiazkoa bada. <math>A</math> formula bat <span>'''inkontsistentea'''</span> edo <span>'''kontraesana'''</span> da ez bada kontsistentea. 

<span>'''2.20 Definizioa.'''</span> <math>B</math> formula bat <math>A_1, \ldots, A_n</math> formulen <span>'''ondorio logikoa'''</span> dela edo formuletatik <span>'''logikoki deduzitzen'''</span> dela esango dugu edozein <math>I</math> interpretaziotarako, non <math>V(A_1,I) = \cdots = V(A_n,I) = E</math> den, <math>V(B,I) = E</math> ere bada. Eta honela adieraziko dugu: 

<math>A_1, \ldots, A_n \Rightarrow B \; \mbox{ edo } \; A_1, \ldots, A_n \models B.</math> 

<span>'''2.21 Definizioa.''' </span> <math>P_1,\ldots,P_n / \dot{..} C</math> argumentu bat <span>'''baliozkoa'''</span> da <math>C</math> ondorioa premisen ondorio logikoa bada. Hau da, edozein <math>I</math> interpretaziotarako, non <math>V(P_1,I) = \cdots = V(P_n,I) = E</math> den, <math>V(C,I) = E</math> ere bada. Argumentua <span>'''baliogabea'''</span> da ez bada baliozko argumentua. 

Teorema hauek ere betetzen dira:

<span>'''2.22 Teorema.''' </span>

# <math>B</math> formula <math>A_1,\ldots,A_n</math> formulen ondorio logikoa da baldin eta soilik baldin <math>\models (A_1 \wedge \cdots \wedge A_n \rightarrow B)</math> bada.
# <math>B</math> formula <math>A_1,\ldots,A_n</math> formulen ondorio logikoa da baldin eta soilik baldin <math>A_1 \wedge \cdots \wedge A_n \wedge \neg B</math> formula inkontsistentea bada.

Hala eta guztiz ere, predikatu-kalkuluaren egoera eta proposizio-kalkuluaren egoera zeharo desberdinak dira. Azken horretan edozein formularen egia-taula eraikitzea posiblea den bitartean, predikatu-kalkuluan ez da hori beti posible.

Predikatu-kalkuluan, eremua finitua denean, egia-taula eraiki dezakegu, teorikoki bada ere. Baina formula bat baliozkoa izateko, edozein eremuren gaineko edozein interpretaziotarako egiazkoa izan behar du, eremu infinituak barne. Berdin formula inkontsistenteekin, baliogabeekin...

Dena dela, formula bat baliozkoa edo kontsistentea den ala ez arrazoi dezakegu egia-taula lerroz lerro eraiki gabe.

<span>'''2.23 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li>
<p>
Ikus dezagun <math>A = \exists x (P(x) \wedge \neg P(x))</math> formula inkontsistentea dela.</p>
<p>Izan bitez <math>D</math> edozein eremu ez-huts eta <math>I</math> edozein interpretazio eremu horren gainean.
</br > <math>\begin{array}{cccc}
I: & \quad D & \quad \begin{array}{c}
                  P \\ \hline
                  \alpha
                  \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                                     D      & \alpha \\ \hline
                                     1      & ? \\
                                     \vdots & \vdots
                                     \end{array}
\end{array}</math></p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \exists x (\alpha(x) \wedge \neg \alpha(x))</math>.</p></li>
<li><p><math>\exists x (\alpha(x) \wedge \neg \alpha(x))</math> kalkulatu behar dugu.
</br > <math>\begin{array}{cccc}
    x \quad      & \alpha(x)     \quad & \neg \alpha(x) \quad & \alpha(x) \wedge \neg \alpha(x) \\ \hline
    1 \quad      & \alpha(1) = ? \quad & \neg ?     \quad & ? \wedge \neg ? = F \\
    \vdots \quad & \vdots        \quad & \vdots     \quad & \vdots
  \end{array}</math> 
</br ><math>\exists x</math> motakoa denez eta taulan dena <math>F</math> denez, <math>\exists x (\alpha(x) \wedge \neg \alpha(x)) = F</math> izango da.</p></li></ol>

<p>Beraz, <math>V(A,I) = F</math> da, non <math>I</math> edozein interpretazio eta <math>D</math> edozein eremu diren. Hortaz, <math>A</math> formula inkontsistentea da.
</p>
</li>

<li>
<p>
Ikus dezagun <math>A = P(y) \rightarrow \forall x P(x)</math> formula baliogabea dela.</p>
<p>Horretarako nahikoa da <math>V(A,I) = F</math> betetzen duen <math>I</math> interpretazio bat bilatzea.</p>
<p>Proba dezagun <math>D = \{1\}</math> eremuarekin. <math>\begin{array}{cccc}
I: & \quad D = \{1\} & \quad \begin{array}{cc}
                      y & P \\ \hline
                      1 & \alpha
                      \end{array} & \quad
\begin{array}{cc}
  D & \alpha \\ \hline
  1 & ? \\
\end{array}
  \end{array}</math></p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \alpha(1) \rightarrow \forall x \alpha(x)</math>.</p></li>
<li><p><math>A^* = F</math> izateko, <math>\alpha(1) = E</math> eta <math>\forall x \alpha(x) = F</math> bete behar dira. Orduan, 1 aritateko funtzio logiko hau daukagu: 
</br ><math>\begin{array}{cc}
    D & \alpha \\ \hline
    1 & E \\
  \end{array}</math> 
</br >Orduan, taula hau izango genuke: 
</br ><math>\begin{array}{cc}
    x \quad & \alpha(x) \\ \hline
    1 \quad & \alpha(1) = E \\
  \end{array}</math> 
</br >Taulan dena <math>E</math> denez, <math>\forall x \alpha(x) = E</math> izango da.</p></li></ol>

<p>Beraz, <math>D = \{1\}</math> eremurako ezin izan dugu aurkitu <math>A</math> formula faltsutzen duen interpretaziorik (<math>A</math> formula kontsistentea da).</p>
<p>Proba dezagun <math>D = \{1,2\}</math> eremuarekin. 
</br ><math>\begin{array}{cccc}
I: & \quad D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{cc}
                        y & P \\ \hline
                        d & \alpha
                        \end{array} & \quad
\begin{array}{cc}
      D & \alpha \\ \hline
      1 & ? \\
      2 & ?
\end{array}
  \end{array}</math> (<math>d</math> <math>D</math> eremuaren elementu bat da)</p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \alpha(d) \rightarrow \forall x \alpha(x)</math>.</p></li>
<li><p><math>A^* = F</math> izateko, <math>\alpha(d) = E</math> eta <math>\forall x \alpha(x) = F</math> bete behar dira. Biak bete daitezen:
</br> <math>\begin{array}{ccc}
    x \quad & \alpha(x) &  \\ 
    \hline
    1 \quad & \alpha(1) & F \mbox{ bat eta }E\mbox{ bat} \\
    2 \quad & \alpha(2) &
  \end{array}</math></p></li></ol>

<p>Har dezagun, adibidez, interpretazio hau: 
</br ><math>\begin{array}{cccc}
I: & \quad D = \{1,2\} & \quad \begin{array}{cc}
                         y & P \\ \hline
                         1 & \alpha
                         \end{array} &
                                             \quad
\begin{array}{cc}
      D & \alpha \\ \hline
      1 & E \\
      2 & F
\end{array}
  \end{array}</math> 
</br >Egiaztapena:</p>
<ol>
<li><p><math>A^* = \alpha(d) \rightarrow \forall x \alpha(x)</math>.</p></li>
<li><p>Interpretazio honetarako <math>\alpha(1) = E</math> eta <math>\forall x \alpha(x) = F</math> dauzkagu, taula honetan <math>F</math> bat dagoelako: <math>\begin{array}{cc}
    x \quad & \alpha(x) \\ \hline
    1 \quad & \alpha(1) = E \\
    2 \quad & \alpha(2) = F
  \end{array}</math> 
</br >Beraz,<math>A^* = E \rightarrow F = F</math> da.</p></li></ol>

<p>Ondorioz, <math>V(A,I) = F</math> da eta <math>A</math> formula baliogabea da.
</p>
</li>

<li>
<p>
Ikus dezagun <math>B = Q(a)</math> formula <math>A_1 = \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))</math> eta <math>A_2 = P(a)</math> formulen ondorio logikoa dela.</p>
<p>Horretarako frogatu beharko dugu edozein <math>I</math> interpretaziotarako <math>V(A_1,I) = V(A_2,I) = E</math> bada, <math>V(B,I) = E</math> ere izango dela.</p>
<p>Izan bitez <math>D</math> edozein eremu eta <math>I</math> edozein interpretazio <math>D</math> eremuaren gainean, non <math>V(A_1,I) = V(A_2,I) = E</math> den. 
</br ><math>\begin{array}{ccccc}
I: & D & \quad \begin{array}{ccc}
             a & P  & Q \\ \hline
             d & \alpha & \beta
             \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                        D   & \alpha \\ \hline
                        1   & ? \\
                        \vdots  & \vdots
                        \end{array} &
                                                \quad
\begin{array}{cc}
      D   & \beta \\ \hline
      1   & ? \\
      \vdots & \vdots
\end{array}
  \end{array}</math> 
<br >
<math>A_1^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \beta(x))</math>.</p>
<p><math>A_2^* = \alpha(d)</math>.</p>
<p><math>A_2^* = E</math> izateko <math>\alpha(d) = E</math> bete behar da; beraz, <math>\alpha</math> funtzioaren taulan, errenkada bat honelakoa izango da: 
</br >
<math>\quad \quad  \underbrace{ d \quad \quad \alpha(d) = E}_{\mbox{errenkada}} </math></p>
<p><math>A_1^* = E</math> denez, <math>\alpha(x) \rightarrow \beta(x)</math> adierazpenaren taularen errenkada guztietan <math>E</math> agertuko da. Horien artean, <math>d</math> duen errenkada: 
</br >
 <math> \quad \quad  \underbrace{d  \quad \quad \alpha(d)\rightarrow \beta(d)= E}_{\mbox{errenkada}} </math></p>
<p><math>B^* = \beta(d)</math>.</p>
<p><math>\alpha(d) \rightarrow \beta(d) = E</math> eta <math>\alpha(d) = E</math> direnez, <math>\beta(d) = E</math> bete beharko da.</p>
<p>Hortaz, <math>V(B,I) =E</math> eta <math>B</math> formula <math>A_1</math> eta <math>A_2</math> formulen ondorio logikoa da.
</p>
</li>

<li>
<p>
Ikus dezagun argumentu hau baliogabea dela: 
</br ><math>\begin{array}{l}
        A_1 = \forall x (P(x) \rightarrow \neg Q(x)) \\
        A_2 = \exists x (R(x) \wedge Q(x)) \\ \hline
        B = \forall x (P(x) \rightarrow R(x))
  \end{array}</math> 
</br >Argumentu bat baliogabea dela frogatzeko nahikoa da frogatzea ondorioa ez dela premisen ondorio logikoa. Hau da, nahikoa da premisak egiaztatzen dituen eta ondorioa faltsutzen duen interpretazio bat aurkitzea.</p>
<p>Proba dezagun <math>D = \{1\}</math> eremuarekin. 
</br ><math>\begin{array}{cccccc}
I: & D & \quad \begin{array}{ccc}
              P     & Q     & R \\ \hline
              \alpha & \beta & \gamma
              \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                         D & \alpha \\ \hline
                         1 & ? \\
                         \end{array} &
                                                 \quad
\begin{array}{cc}
      D & \beta \\ \hline
      1 & ? \\
\end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                                 D & \gamma \\ \hline
                                 1 & ? \\
                           \end{array}
  \end{array}</math></p>
<p><math>A_1^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x))</math>.</p>
<p><math>A_1^* = E</math> izateko, <math>\begin{array}{cc}
       x \quad & \alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x) \\ \hline
       1 \quad & \alpha(1) \rightarrow \neg \beta(1) = E
 \end{array}</math> bete behar da.</p>
<p><math>A_2^* = \exists  x (\gamma(x) \wedge \beta(x))</math>.</p>
<p><math>A_2^* = E</math> izateko, <math>\begin{array}{cc}
       x \quad & \gamma(x) \wedge \beta(x) \\ \hline
       1 \quad & \gamma(1) \wedge \beta(1) = E
 \end{array}</math> bete behar da.
</p>
<p>
Hortaz, azkenekotik, <math>\gamma(1) = E</math> eta <math>\beta(1) = E</math> dira. <math>\beta(1) = E</math> denez, <math>\neg \beta(1) = F</math> da eta, <math>\alpha(1) \rightarrow \neg \beta(1) = E</math> bete behar denez, <math>\alpha(1)=F</math> aterako dugu. Eta <math>B^*</math> adierazpenerako, taula hau daukagu: 
</br ><math>\begin{array}{cc}
    x \quad & \alpha(x) \rightarrow \gamma(x) \\ \hline
        1 \quad & \alpha(1) \rightarrow \gamma(1) = E
  \end{array}</math> 
</br >eta, hortaz, <math>B^* = E</math> da.</p>
<p>Ondorioz, <math>D = \{1\}</math> eremuarekin ezin izan dugu aurkitu <math>A_1</math> eta <math>A_2</math> egiaztatu eta <math>B</math> faltsutzen dituen interpretaziorik.
</p>

<p>
Proba dezagun <math>D = \{1,2\}</math> eremuarekin.
</p>
<p>
<math>\begin{array}{cccccc}
I: & D & \quad \begin{array}{ccc}
              P     & Q     & R \\ \hline
              \alpha & \beta & \gamma
              \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                         D & \alpha \\ \hline
                         1 &  ? \\
                         2 &  ? \\
                         \end{array} &
                                                 \quad 
\begin{array}{cc}
      D & \beta \\ \hline
      1 & ? \\
      2 & ? \\
\end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                                 D & \gamma \\ \hline
                                 1 & ? \\
                                 2 & ? \\
                           \end{array}
  \end{array}</math></p>
<p><math>A_1^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x))</math>.</p>
<p><math>A_1^* = E</math> izateko, 
</br ><math>
\begin{array}{cc}
      x \quad & \alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x) \\ \hline
      1 \quad & \alpha(1) \rightarrow \neg \beta(1) = E \\
      2 \quad & \alpha(2) \rightarrow \neg \beta(2) = E
\end{array} \; \mbox{ bete behar da.} \quad \mbox{ [tabla1]}</math></p>
<p><math>A_2^* = \exists  x (\gamma(x) \wedge \beta(x))</math>.</p>
<p><math>A_2^* = E</math> izateko,
</br > <math>
\begin{array}{cc}
      x \quad & \gamma(x) \wedge \beta(x) \\ \hline
      1 \quad & \gamma(1) \wedge \beta(1)  \\
      2 \quad & \gamma(2) \wedge \beta(2)
\end{array} \; \mbox{ batek }E\mbox{ izan behar du.} \quad \mbox{ [tabla2]}</math></p>
<p><math>B^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \gamma(x))</math>.</p>
<p><math>B^* = F</math> izateko, <math>
\begin{array}{cc}
      x \quad & \alpha(x) \rightarrow \gamma(x)  \\ \hline
      1 \quad & \alpha(1) \rightarrow \gamma(1)   \\
      2 \quad & \alpha(2) \rightarrow \gamma(2) 
\end{array} \; \mbox{ batek }F\mbox{ izan behar du.} \quad \mbox{ [tabla3]}</math>
</p>
<p>
[tabla2] betetzeko, nahikoa da <math>\gamma(1) = \beta(1) = E</math> betetzea (<math>\neg \beta(1) = F</math>). Orduan, <math>\alpha(1) \rightarrow \neg \beta(1) = E</math> izan behar denez, <math>\alpha(1) = F</math> aterako dugu. Eta hortik <math>\alpha(1) \rightarrow \gamma(1)=E</math> daukagu.
</p>
<p>
[tabla3] betetzeko, <math>\alpha(2) \rightarrow \gamma(2) = F</math> bete behar da, hau da, <math>\alpha(2) = E</math> eta <math>\gamma(2) = F</math>.
</p>
<p>
Hortaz, [tabla1] betetzeko, <math>\alpha(2) = E</math> eta <math>\alpha(2) \rightarrow \neg \beta(2) = E</math> badira, <math>\neg \beta(2) = E</math> eta <math>\beta(2) = F</math> izango dira.</p>
<p>Laburbilduz, hona hemen <math>A_1</math> eta <math>A_2</math> egiaztatu eta <math>B</math> faltsutzen dituen interpretazio bat: 
</br ><math>\begin{array}{cccccc}
I: & D & \quad \begin{array}{ccc}
              P     & Q     & R \\ \hline
              \alpha & \beta & \gamma
              \end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                         D & \alpha \\ \hline
                         1 & F \\
                         2 & E \\
                         \end{array} &
                                                 \quad
\begin{array}{cc}
      D & \beta \\ \hline
      1 & E \\
      2 & F \\
\end{array} & \quad \begin{array}{cc}
                                 D & \gamma \\ \hline
                                 1 & E \\
                                 2 & F \\
                           \end{array}
  \end{array}</math></p>
<p>Egiaztapena:</p>
<p><math>\begin{array}{ll}
A_1^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x)) & \quad
\begin{array}{ccccc}
      x \quad & \alpha(x) \quad & \beta(x) \quad & \neg \beta(x) \quad & \alpha(x) \rightarrow \neg \beta(x)) \\ \hline
      1 \quad & F     \quad & E    \quad & F         \quad & E \\
      2 \quad & E     \quad & F    \quad & E         \quad & E
\end{array}
 \end{array}</math></p>
<p><math>\begin{array}{ll}
A_2^* = \exists x (\gamma(x) \wedge \beta(x)) & \quad
\begin{array}{cccc}
      x \quad & \gamma(x) \quad & \beta(x) \quad & \gamma(x) \wedge \beta(x) \\ \hline
      1 \quad & E     \quad & E    \quad & E \\
      2 \quad & F     \quad & F    \quad & F
\end{array}
 \end{array}</math></p>
<p><math>\begin{array}{ll}
B^* = \forall x (\alpha(x) \rightarrow \gamma(x)) & \quad
\begin{array}{cccc}
      x \quad & \alpha(x) \quad & \gamma(x) \quad & \alpha(x) \rightarrow \gamma(x) \\ \hline
      1 \quad & F     \quad & E     \quad & E \\
      2 \quad & E     \quad & F     \quad & F
\end{array}
 \end{array}</math></p>
<p>Beraz, <math>V(A_1,I) = V(A_2,I) = E</math> eta <math>V(B,I) = F</math> betetzen dira. Eta argumentua baliogabea da.</p></li></ol>

== 2.5 Baliokidetza logikoak ==

<span>'''2.24 Definizioa.'''</span> <math display="inline">A</math> eta <math display="inline">B</math> bi formula ongi eratuak <span>'''logikoki baliokideak'''</span> dira (<math display="inline">A \equiv B</math>) egia-balio berberak badituzte interpretazio guztietarako, <math display="inline">V(A,I) = V(B,I)</math>.


<span>'''Ondorioak.''' </span> 
# Proposizio-kalkuluaren baliokidetza logikoek bere horretan diraute predikatu-kalkuluan.
# <math display="inline">A \equiv B</math> da baldin eta soilik baldin <math display="inline">\models (A \leftrightarrow B)</math> bada.

Horietaz gain, predikatu-kalkuluan baliokidetza gehiago dauzkagu.


<span>'''Idazkera.''' </span> 
<ul>
<li><p><math display="inline">A[x]</math>, <math display="inline">B[x]</math>: <math display="inline">x</math> aldagai asketzat duten formulak dira.</p>
<p>Adibideak: <math display="inline">A[x] = P(x)</math>, <math display="inline">A[x] = \forall y (P(x) \wedge Q(y) \rightarrow \exists x R(x,x))</math>, <math display="inline">A[x] = P(x) \rightarrow \forall y P(y)</math>, etab.</p></li>
<li><p><math display="inline">J</math>: <math display="inline">x</math> aldagai asketzat ez duen formula da.</p>
<p>Adibideak: <math display="inline">J = \forall y P(y)</math>, <math display="inline">J = \forall x P(x) \rightarrow Q(y)</math>, etab.</p></li>
<li><p><math display="inline">A^*[x]</math>, <math display="inline">J^*</math>: <math display="inline">I</math> interpretazio bat <math display="inline">A[x]</math>, <math display="inline">J</math> formuletan ordezkatzean lortzen diren adierazpenak dira.</p></li></ul>


<span>'''Zenbatzaileen baliokidetzak.''' </span> 
<ol>
<li><p><math display="inline">\neg \forall x A[x] \equiv \exists x \neg A[x]</math>.</p></li>
<li><p><math display="inline">\forall x \neg  A[x] \equiv \neg \exists x A[x]</math>.</p></li>
<li><p><math display="inline">\forall x A[x] \wedge \forall x B[x] \equiv \forall x (A[x] \wedge B[x])</math>, <math display="inline">\forall</math> zenbatzailea banakorra da <math display="inline">\wedge</math> lokailuarekiko.</p></li>
<li><p><math display="inline">\exists x A[x] \vee \exists x B[x] \equiv \exists x (A[x] \vee B[x])</math>, <math display="inline">\exists</math> zenbatzailea banakorra da <math display="inline">\vee</math> lokailuarekiko.</p></li>
<li><p>1. <math display="inline">\forall x A[x] \vee J \equiv \forall x (A[x] \vee J)</math>.</p>
<p>2. <math display="inline">\exists x A[x] \vee J \equiv \exists x (A[x] \vee J)</math>.</p></li>
<li><p>1. <math display="inline">\forall x A[x] \wedge J \equiv \forall x (A[x] \wedge J)</math>.</p>
<p>2. <math display="inline">\exists x A[x] \wedge J \equiv \exists x (A[x] \wedge J)</math>.</p></li></ol>

<span>'''Ez dira baliokideak.''' </span> 
; N1: 
: <math display="inline">\forall x A[x] \vee \forall x B[x] \not\equiv \forall x (A[x] \vee B[x])</math>, <math display="inline">\forall</math> zenbatzailea ez da banakorra <math display="inline">\vee</math> lokailuarekiko.
; N2: 
: <math display="inline">\exists x A[x] \wedge \exists x B[x] \not\equiv \exists x (A[x] \wedge B[x])</math>, <math display="inline">\exists</math> zenbatzailea ez da banakorra <math display="inline">\wedge</math> lokailuarekiko.

<span>'''Froga.''' </span>

<ol>
<li><p><math display="inline">G = \neg \forall x A[x] \equiv \exists x \neg A[x] = H</math> dela frogatzeko ikusi behar dugu edozein <math display="inline">I</math> interpretaziotarako <math display="inline">V(G,I) = V(H,I)</math> betetzen dela.</p>
<p>Izan bitez <math display="inline">D</math> edozein eremu eta <math display="inline">I</math> edozein interpretazio <math display="inline">D</math> eremuaren gainean.</p>
<p><math display="inline">I</math> interpretazioa <math display="inline">G</math> eta <math display="inline">H</math> formuletan ordezkatzean, <math display="inline">G^* = \neg \forall x A^*[x]</math> eta <math display="inline">H^* = \exists x \neg A^*[x]</math> adierazpenak lortuko ditugu, hurrenez hurren.</p>
<p>Bi aukerak ditugu: a) <math display="inline">V(G,I) = E</math>. b) <math display="inline">V(G,I) = F</math>.</p>

<p>a) <math display="inline">V(G,I) = E</math> bada, <math display="inline">G^* = \neg \forall x A^*[x] = E</math> izango da; orduan, <math display="inline">\forall x A^*[x] = F</math> izango da. Beraz, <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taulan honelako errenkada bat egongo da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]= F }} </math></p>

<p><math display="inline">\neg A^*[x]</math> adierazpenaren errenkada hori honelakoa izango da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad \neg A^*[d]= E }} </math>. 
Beraz, <math display="inline">H^* = \exists x \neg A^*[x] = E</math> beteko da.</p>

<p>Hortaz, <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> dugu.</p>
<p>b) <math display="inline">V(G,I) =F</math> bada, <math display="inline">G^* = \neg \forall x A^*[x] = F</math> izango da; orduan, <math display="inline">\forall x A^*[x] = E</math> izango da. Beraz, <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taulan dena da <math display="inline">E</math>.</p>
<p><math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taulan dena <math display="inline">E</math> bada, <math display="inline">\neg A^*[x]</math> adierazpenaren taulan dena <math display="inline">F</math> izango da. Beraz, <math display="inline">H^* = \exists x \neg A^*[x] = F</math> da.</p>
<p>Hortaz, <math display="inline">V(H,I) = F = V(G,I)</math> da.</p>
<p>Bi kasuetan, <math display="inline">V(G,I) = V(H,I)</math> dugu, hau da, <math display="inline">G \equiv H</math>.</p></li>

<li><p><math display="inline">G = \forall x \neg  A[x] \equiv \neg \exists x A[x] = H</math> dela frogatzeko baliokidetasun logikoaren definizioa erabil dezakegu, aurrekoan bezala, eta frogatu edozein <math display="inline">I</math> interpretaziotarako <math display="inline">V(G,I) = V(H,I)</math> betetzen dela.</p>
<p>Baina, jadanik frogatu ditugun baliokidetzak ere erabil ditzakegu, aurrekoa eta proposizio-kalkuluarenak.</p>
<p><math display="inline">G = \forall x \neg  A[x] \stackrel{UB}{\equiv} \neg (\neg \forall x \neg  A[x]) \stackrel{1.}{\equiv} \neg \exists x \neg \neg A[x] \stackrel{UB}{\equiv} \neg \exists x A[x] = H</math>.</p></li>

<li><p><math display="inline">G = \forall x A[x] \wedge \forall x B[x] \equiv \forall x (A[x] \wedge B[x]) = H</math> dela frogatzeko baliokidetasun logikoaren definizioa erabiliko dugu.</p>
<p>Izan bitez <math display="inline">D</math> edozein eremu eta <math display="inline">I</math> edozein interpretazio <math display="inline">D</math> eremuaren gainean.</p>
<p><math display="inline">I</math> interpretazioa <math display="inline">G</math> eta <math display="inline">H</math> formuletan ordezkatzean, <math display="inline">G^* = \forall x A^*[x] \wedge \forall x B^*[x]</math> eta <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \wedge B^*[x])</math> adierazpenak lortuko ditugu, hurrenez hurren.</p>

<p>Bi aukerak ditugu: a) <math display="inline">G^* = E</math>. b) <math display="inline">G^* = F</math>.</p>

<p>a) <math display="inline">G^* = E</math> bada, <math display="inline">\forall x A^*[x] = E</math> eta <math display="inline">\forall x B^*[x] = E</math> izango dira. Beraz, <math display="inline">A^*[x]</math> eta <math display="inline">B^*[x]</math> adierazpenen tauletan errenkada guztiak dira <math display="inline">E</math>.</p>

<p>Hortik, <math display="inline">A^*[x] \wedge B^*[x]</math> adierazpenaren taularen errenkada guztietan <math display="inline">E</math> agertuko da. Ondorioz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \wedge B^*[x]) = E</math> dugu.</p>
<p>Hortaz, <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> da.</p>

<p>b) <math display="inline">G^* = F</math> bada, beste bi aukera dauzkagu:
</br >
b.1) <math display="inline">\forall x A^*[x] = E</math>. b.2) <math display="inline">\forall x A^*[x] = F</math>.</p>

<p>b.1) <math display="inline">\forall x A^*[x] = E</math> bada, <math display="inline">G^* = F</math> denez, <math display="inline">\forall x B^*[x] = F</math> izango da. Beraz, <math display="inline">B^*[x]</math> adierazpenaren taulan honelako errenkada bat egongo da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad B^*[d]= F }} </math>
.</p>

<p>Errenkada hori bera baina orain <math display="inline">A^*[x] \wedge B^*[x]</math> adierazpenaren taulan hau izango da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]\wedge B^*[d]= F }} </math>.
Beraz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \wedge B^*[x]) = F</math> beteko da.</p>

<p>Ondorioz, <math display="inline">V(H,I) = F = V(G,I)</math> dugu.</p>

<p>b.2) <math display="inline">\forall x A^*[x] = F</math> bada, <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taularen errenkadaren batean hau izango dugu: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]= F }} </math>. 
<math display="inline">A^*[x] \wedge B^*[x]</math> adierazpenaren taularen errenkada berean beste hau izango dugu: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]\wedge B^*[d]= F }} </math>. 
Beraz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \wedge B^*[x]) = F</math> da.</p>
<p>Ondorioz, <math display="inline">V(H,I) = F = V(G,I)</math> betetzen da</p>
<p>Hortaz, edozein <math display="inline">I</math> interpretaziotarako <math display="inline">V(H,I) = V(G,I)</math> daukagu, hau da, <math display="inline">G \equiv H</math>.</p></li>

<li><p><math display="inline">G = \exists x A[x] \vee \exists x B[x] \equiv \exists x (A[x] \vee B[x]) = H</math> betetzen dela frogatzeko jadanik frogatu ditugun baliokidetzak erabiliko ditugu.</p>
<p><math display="inline">G = \exists x A[x] \vee \exists x B[x] \stackrel{UB}{\equiv} \neg(\neg (\exists x A[x] \vee \exists x B[x])) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg(\neg \exists x A[x] \wedge \neg \exists x B[x]) \stackrel{2.}{\equiv} \neg(\forall x \neg A[x] \wedge \forall x \neg B[x]) \stackrel{3.}{\equiv} \neg \forall x (\neg A[x] \wedge \neg B[x]) \stackrel{1.}{\equiv} \exists x \neg (\neg A[x] \wedge \neg B[x]) \stackrel{DeM}{\equiv}</math></p>
<p><math display="inline">\exists x (\neg \neg A[x] \vee \neg \neg B[x]) \stackrel{UB}{\equiv} \exists x (A[x] \vee B[x]) = H</math></p></li>

<li><p>1. <math display="inline">G = \forall x A[x] \vee J \equiv \forall x (A[x] \vee J) = H</math> betetzen dela frogatzeko baliokidetasun logikoaren definizioa erabiliko dugu.</p>
<p>Izan bitez <math display="inline">D</math> edozein eremu eta <math display="inline">I</math> edozein interpretazio <math display="inline">D</math> eremuaren gainean.</p>
<p><math display="inline">I</math> interpretazioa <math display="inline">G</math> eta <math display="inline">H</math> formuletan ordezkatzean, <math display="inline">G^* = \forall x A^*[x] \vee J^*</math> eta <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \vee J^*)</math> adierazpenak lortuko ditugu, hurrenez hurren.</p>

<p>Aukerak: a) <math display="inline">G^* = \forall x A^*[x] \vee J^* = E</math>. b) <math display="inline">G^* = \forall x A^*[x] \vee J^* = F</math>.</p>

<p>a) <math display="inline">G^* = E</math> bada, beste bi aukera ditugu: a.1) <math display="inline">J^* = E</math>. a.2) <math display="inline">J^* = F</math>.</p>
<p>a.1) <math display="inline">J^* = E</math> bada, <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taularen errenkada guztietan <math display="inline">E</math> agertuko da. Beraz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \vee J^*) = E</math> izango da.</p>
<p>Hortaz, <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> beteko da.</p>
<p>a.2) <math display="inline">J^* = F</math> bada, <math display="inline">G^* = E</math> denez, <math display="inline">\forall x A^*[x] = E</math> bete beharko da. Hau da, <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taularen errenkada guztietan <math display="inline">E</math> agertuko da. Hortik, <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taularen errenkada guztietan <math display="inline">E</math> agertuko da. Eta, ondorioz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \vee J^*) = E</math> izango da.</p>
<p>Kasu honetan ere <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> beteko da.</p>

<p>b) <math display="inline">G^* = \forall x A^*[x] \vee J^* = F</math> bada, <math display="inline">\forall x A^*[x] = F</math> eta <math display="inline">J^* = F</math> bete beharko dira. Lehenengotik aterako dugu <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taularen errenkadaren batean <math display="inline">F</math> agertuko dela: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]= F }} </math>.
 <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taularen errenkada berean ere <math display="inline">F</math> agertuko da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]\vee J^*= F }} </math>.
 Ondorioz, <math display="inline">H^* = \forall x (A^*[x] \vee J^*) = F</math> izango da.</p>
<p>Kasu honetan <math display="inline">V(H,I) = F = V(G,I)</math> dugu.</p>
<p>Hortaz, edozein <math display="inline">I</math> interpretaziotarako <math display="inline">V(H,I) = V(G,I)</math> daukagu, hau da, <math display="inline">G \equiv H</math>.</p>
<p>2. <math display="inline">G = \exists x A[x] \vee J \equiv \exists x (A[x] \vee J)= H</math> betetzen dela frogatzeko baliokidetasun logikoaren definizioa erabiliko dugu berriro.</p>
<p>Izan bitez <math display="inline">D</math> edozein eremu eta <math display="inline">I</math> edozein interpretazio <math display="inline">D</math> eremuaren gainean.</p>
<p><math display="inline">I</math> interpretazioa <math display="inline">G</math> eta <math display="inline">H</math> formuletan ordezkatzean, <math display="inline">G^* = \exists x A^*[x] \vee J^*</math> eta <math display="inline">H^* = \exists x (A^*[x] \vee J^*)</math> adierazpenak lortuko ditugu, hurrenez hurren.</p>

<p>Aukerak: a) <math display="inline">G^* = E</math>. b) <math display="inline">G^* = F</math>.</p>
<p>a) <math display="inline">G^* = E</math> bada, beste bi aukera ditugu: a.1) <math display="inline">J^* = E</math> . a.2) <math display="inline">J^* = F</math>.</p>

<p>a.1) <math display="inline">J^* = E</math> bada, <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taulan dena <math display="inline">E</math> da. Beraz, <math display="inline">H^* = \exists x (A^*[x] \vee J^*) = E</math> izango da.</p>
<p>Kasu honetan <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> betetzen da.</p>
<p>a.2) <math display="inline">J^* = F</math> bada, <math display="inline">G^* = E</math> denez, <math display="inline">\exists x A^*[x] = E</math> bete behar da. Beraz, <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taulan honelako errenkadaren bat egongo da:
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]= E }} </math> .
Errenkada hori bera <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taulan hau izango da: 
<math>\underline{\overline{d  \quad \quad A^*[d]\wedge J^*= E }} </math>. 
Beraz, <math display="inline">H^* = \exists x (A^*[x] \vee J^*) = E</math> dugu.</p>
<p>Kasu honetan ere <math display="inline">V(H,I) = E = V(G,I)</math> betetzen da.</p>
<p>b) <math display="inline">G^* = F</math> bada, <math display="inline">\exists x A^*[x] = F</math> eta <math display="inline">J^* = F</math> izango dira. Lehenengotik aterako dugu <math display="inline">A^*[x]</math> adierazpenaren taulan dena <math display="inline">F</math> dela. Beraz, <math display="inline">A^*[x] \vee J^*</math> adierazpenaren taulan ere dena <math display="inline">F</math> da. Hortaz, <math display="inline">H^* = \exists x (A^*[x] \vee J^*) = F</math> izango da.</p>
<p>Kasu honetan ere bai <math display="inline">V(H,I) = F = V(G,I)</math> betetzen da.</p>
<p>Ondorioz, edozein <math display="inline">I</math> interpretaziotarako <math display="inline">V(H,I) = V(G,I)</math> daukagu, hau da, <math display="inline">G \equiv H</math>.</p></li>
<li><p>6.1. eta 6.2. frogatzeko aurreko baliokidetza batzuk erabiliko ditugu.</p>
<p>1. <math display="inline">\forall x A[x] \wedge J \stackrel{UB}{\equiv} \neg \neg (\forall x A[x] \wedge J) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg (\neg \forall x A[x] \vee \neg J) \stackrel{1.}{\equiv} \neg (\exists x \neg A[x] \vee \neg J) \stackrel{5.2.}{\equiv} \neg \exists x (\neg A[x] \vee \neg J) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg \exists x \neg (A[x] \wedge J) \stackrel{2.}{\equiv} \forall x \neg (\neg (A[x] \wedge J)) \stackrel{UB}{\equiv} \forall x (A[x] \wedge J)</math>.</p>
<p>2. <math display="inline">\exists x A[x] \wedge J \stackrel{UB}{\equiv} \neg \neg (\exists x A[x] \wedge J) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg (\neg \exists x A[x] \vee \neg J) \stackrel{2.}{\equiv} \neg (\forall x \neg A[x] \vee \neg J) \stackrel{5.1.}{\equiv} \neg (\forall x (\neg A[x] \vee \neg J)) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg (\forall x \neg (A[x] \wedge J)) \stackrel{1.}{\equiv} \exists x \neg \neg (A[x] \wedge J) \stackrel{UB}{\equiv} \exists x (A[x] \wedge J)</math>.</p></li></ol>

Egiazta dezagun, orain, N1 eta N2 ez direla baliokidetzak

<ul>
<li>'''N1''' <p><math display="inline">\forall x A[x] \vee \forall x B[x] \not\equiv \forall x (A[x] \vee B[x])</math> dela frogatzeko ikus dezagun <math display="inline">A[x] = P(x)</math> eta <math display="inline">B[x] = Q(x)</math> direnean, <math display="inline">G = \forall x P(x) \vee \forall x Q(x) \not\equiv \forall x (P(x) \vee Q(x)) = H</math> dela.</p>
<p>Horretarako nahikoa izango da <math display="inline">V(H,I) \neq V(G,I)</math> betetzen duen <math display="inline">I</math> interpretazio bat aurkitzea.</p>
<p>Har dezagun interpretazio hau: 
</br >
<math display="block">\begin{array}{ccccc}
I: & D = \{1,2\} & \quad    \begin{array}{cc}
                    P      & Q \\ \hline
                    \alpha & \beta
                    \end{array} & \quad  \begin{array}{cc}
                               D & \alpha \\ \hline
                               1 & E \\
                               2 & F
                               \end{array}
                                                           & 
\quad 
\begin{array}{cc}
      D & \beta \\ \hline
      1 & F \\
      2 & E
\end{array}
  \end{array}</math> 
</br ><math display="inline">G^* = \forall x \alpha(x) \vee \forall x \beta(x)</math>.</p>

<p><math display="inline">\begin{array}{ll}
       \begin{array}{ll}
         \left. \begin{array}{cc}
                  x \quad & \alpha(x) \\ \hline
                          1 \quad & \alpha(1) = E \\
                          2 \quad & \alpha(2) = F
            \end{array} \right\} & \forall x \alpha(x) = F
       \end{array} &
       \begin{array}{ll}
         \left. \begin{array}{cc}
                  x \quad & \beta(x) \\ \hline
                          1 \quad & \beta(1) = F \\
                          2 \quad & \beta(2) = E
            \end{array} \right\} & \forall x \beta(x) = F
       \end{array}
\end{array}</math></p>
<p>Beraz, <math display="inline">G^* = F \vee F = F</math> betetzen da.</p>
<p><math display="inline">H^* = \forall x (\alpha(x) \vee \beta(x))</math>.</p>

<p><math display="inline">\begin{array}{ll}
       \begin{array}{cccc}
         x \quad & \alpha(x)     \quad & \beta(x)     \quad & \alpha(x) \vee \beta(x) \\ \hline
             1 \quad & \alpha(1) = E \quad & \beta(1) = F \quad & \alpha(1) \vee \beta(1) = E \\
             2 \quad & \alpha(2) = F \quad & \beta(2) = E \quad & \alpha(2) \vee \beta(2) = E
       \end{array} & H^* = \forall x (\alpha(x) \vee \beta(x)) = E
 \end{array}</math></p>

<p>Orduan, <math display="inline">V(H,I) \neq V(G,I)</math>. Eta, beraz, <math display="inline">G \not\equiv H</math> daukagu.</p></li>

<li>''' N2''':<p><math display="inline">G = \exists x A[x] \wedge \exists x B[x] \not\equiv \exists x (A[x] \wedge B[x]) = H</math> dela frogatzeko, ikus dezakegu, aurrekoan bezala, <math display="inline">I</math> interpretazio baterako <math display="inline">V(H,I) \neq V(G,I)</math> dela. Baina jadanik frogaturik dauden baliokidetzak eta baliokidetza ez den aurrekoa ere erabil ditzakegu.</p>

<p><math display="inline">G = \exists x A[x] \wedge \exists x B[x] \stackrel{UB}{\equiv} \neg \neg (\exists x A[x] \wedge \exists x B[x]) \stackrel{DeM}{\equiv} \neg (\neg \exists x A[x] \vee \neg \exists x B[x]) \stackrel{2.}{\equiv} \neg (\forall x \neg A[x] \vee \forall x \neg B[x]) \stackrel{N1}{\not\equiv} \neg \forall x (\neg A[x] \vee \neg B[x]) \stackrel{1.}{\equiv} \exists x \neg (\neg A[x] \vee \neg B[x]) \stackrel{DeM}{\equiv}</math></p>
<p><math display="inline">\exists x (\neg \neg A[x] \wedge \neg \neg B[x]) \stackrel{UB}{\equiv} \exists x (A[x] \wedge B[x]) = H</math>.</p></li></ul>

== 2.6 Dedukzio formala ==

Predikatu-kalkuluan ere argumentuak baliozkoak diren ala ez ikusteko froga formalak egin ditzakegu.

Hona hemen erabiliko ditugun erregelak:

# Proposizio-kalkuluaren 1-9 inferentzi erregelak: MP, MT, SH, SD, DE, DS, KS, KK, DB.
# Ordezkapen-erregela, proposizio-kalkuluaren baliokidetza logikoak erabiliz, 10-19, eta aurreko atalean frogatutako zenbatzaileen baliokidetzak.
# Baldintzazko frogaren erregela eta absurdora eramateko erregela.
# Erregela berriak agertuko dira: <span>''Zenbatzaileen erregelak''</span>. Erregela hauek froga baten errenkada osoei bakarrik aplika diezazkiekegu.


<span>'''Idazkera.''' </span>
Erregela horiek erabiltzean idazkera hau erabiliko dugu:

<math display="inline">A(x)</math> edozein formula da; <math display="inline">A(r)</math> da <math display="inline">x</math> aldagaiak <math display="inline">A(x)</math> formulan dituen agerpen aske guztiak <math display="inline">r</math> balioaz ordezkatzean lortzen den formula.

<span>'''2.25 Adibideak.'''</span>

# <math display="inline">A(x) = \forall z (Q(x) \vee \forall x P(x,y,z))</math> bada, <math display="inline">A(y) = \forall z (Q(y) \vee \forall x P(x,y,z))</math> daukagu.
# <math display="inline">A(y) = \exists x (P(x,y) \vee \forall z \exists y P(y,z))</math> bada, <math display="inline">A(z) = \exists x (P(x,z) \vee \forall z \exists y P(y,z))</math> daukagu.
# <math display="inline">A(x) = \forall x P(x,y) \vee P(z,y)</math> bada, <math display="inline">A(z) = \forall x P(x,y) \vee P(z,y)</math> (<math display="inline">= A(x)</math>) daukagu.
# <math display="inline">A(x) = \forall y P(y)</math> bada, <math display="inline">A(y) = A(z) = A(x)</math> daukagu.

<span>'''2.26 Definizioa.'''</span> Esango dugu <math display="inline">r</math> aldagaia <math display="inline">A(x)</math> formulan <math display="inline">x</math> aldagairako <span>'''aske'''</span> dela,  ordezkapenaren ondoren, <math display="inline">r</math> aldagaiak <math display="inline">A(r)</math> formulan dituen agerpen guztiak askeak badira (<math display="inline">r</math> posizio gehiagotan ager daiteke aske).

<span>'''2.27 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li><p><math display="inline">A(x) = \forall z (Q(x) \vee \forall x P(x,y,z))</math>.</p>
<p><math display="inline">A(y) = \forall z (Q(y) \vee \forall x P(x,y,z))</math>. <math display="inline">y</math> aske da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan.</p>
<p><math display="inline">A(z) = \underline{\forall z} (Q(\underline{z}) \vee \forall x P(x,y,z))</math>. <math display="inline">z</math> ez da aske <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan.</p></li>
<li><p><math display="inline">A(y) = \exists x (P(x,y) \vee \forall z \exists y P(y,z))</math>.</p>
<p><math display="inline">A(z) = \exists x (P(x,z) \vee \forall z \exists y P(y,z))</math>. <math display="inline">z</math> aske da <math display="inline">y</math> aldagairako <math display="inline">A(y)</math> formulan.</p>
<p><math display="inline">A(x) = \underline{\exists x} (P(x,\underline{x}) \vee \forall z \exists y P(y,z))</math>. <math display="inline">x</math> ez da aske <math display="inline">y</math> aldagairako <math display="inline">A(y)</math> formulan.</p></li>
<li><p><math display="inline">A(x) = \forall x P(x,y) \vee P(z,y)</math>.</p>
<p><math display="inline">A(z) = A(y) = \cdots = A(x)</math>. Edozein aldagai da aske <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan.</p></li></ol>

<span>'''Oharrak.''' </span>

# <math display="inline">A(x)</math> formulak ez badu <math display="inline">x</math> aske, edozein <math display="inline">r</math> aldagaitarako <math display="inline">A(r) = A(x)</math> izango da, eta <math display="inline">r</math> aske izango da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan.
# Edozein <math display="inline">A(x)</math> formulatarako, <math display="inline">x</math> aske da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan.


<span>'''Zenbatzaileen erregelak.''' </span>

* <math> \underline{\forall \mbox{ Zenbatzailea ezabatu. }} </math>

<math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x A(x) \\ \hline
        A(r)
  \end{array}</math> Murriztapenak: <math display="inline">r</math> aske da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan edo <math display="inline">r</math> konstante bat da.

<span>'''2.28 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li>.<p><math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x (P(x,x) \wedge Q(y)) \\ \hline
        P(z,z) \wedge Q(y)
  \end{array}</math> <math display="inline">A(x)= P(x,x) \wedge Q(y)</math>; <math display="inline">A(z)=P(z,z) \wedge Q(y)</math>, <math display="inline">z</math> aske da <math display="inline">x</math>-rako <math display="inline">A(x)</math> formulan.</p></li>
  
<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x (P(x,x) \wedge Q(y)) \\ \hline
        P(x,x) \wedge Q(y)
  \end{array}
\quad \quad
\begin{array}{c}
      \forall x (P(x,x) \wedge Q(y)) \\ \hline
      P(y,y) \wedge Q(y)
\end{array}</math> <math display="inline">x</math> eta <math display="inline">y</math> aske dira <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">P(x,x) \wedge Q(y)</math> formulan.</p></li>

<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        \forall y (P(y,y) \wedge Q(x) \wedge \forall x R(x)) \\ \hline
        P(x,x) \wedge Q(x) \wedge \forall x R(x))
  \end{array}</math> <math display="inline">x</math> aske da <math display="inline">y</math> aldagairako <math display="inline">P(y,y) \wedge Q(x) \wedge \forall x R(x)</math> formulan.</p></li>
<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x (P(x,x) \wedge Q(y) \wedge \exists x R(x)) \\ \hline
        P(y,y) \wedge Q(y) \wedge \exists x R(x))
  \end{array}</math> <math display="inline">y</math> aske da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">P(x,x) \wedge Q(y) \wedge \exists x R(x)</math> formulan.</p></li>
<li>.
{|
| Txakur guztiak ugaztunak dira.
| <math display="inline">\forall x (T(x) \rightarrow U(x))</math>
|-
| Bizi txakurra da.
| <math display="inline">T(b)</math>
|-
| Beraz, Bizi ugaztuna da.
| <math display="inline">U(b)</math>
|}

<p>.
<math display="inline">
\begin{array}{lll}
1. & \forall x (T(x) \rightarrow U(x))  & \mbox{premisa} \\
2. & T(b)               & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } U(b) \\
3. & T(b) \rightarrow U(b)      &
\forall x\mbox{-ezab(1) (}b\mbox{ konstantea da)} \\
4. & U(b)               & \mbox{MP(3,2)} \\
 \end{array}</math></p></li>
 
<li>.
<p><math display="inline">\begin{array}{lll}
1. & \neg P(x)                  & \mbox{premisa} \\
2. & \forall y (P(y) \vee Q(y)) & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  }
Q(x) \\
3. & P(x) \vee Q(x)         & \forall y\mbox{-ezab(2) (}x\mbox{ aske da }y\mbox{-rako }P(y) \vee Q(y)\mbox{ formulan)} \\
4. & Q(x)           & \mbox{SD(3,1)} \\
 \end{array}</math></p></li>
<li><p>Hona hemen dedukzio <span>'''oker'''</span> bat: <math display="block">\begin{array}{lll}
1. & \forall x \exists y P(x,y) & \mbox{premisa / }  \dot{..} \mbox{ } \exists y P(y,y) \\
2. & \exists y P(y,y)           & \forall x \mbox{-ezab(1)} \\
  \end{array}</math> 
</br > Erregela <span>'''gaizki'''</span> aplikatu dugu, <math display="inline">y</math> <span>'''ez'''</span> delako aske <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">\exists y P(x,y)</math> formulan.</p>
  
<p>Horrez gain, argumentua baliogabea dela froga dezakegu. Har dezagun interpretazio hau: <p>
<math display="block">\begin{array}{lccc}
I: & D = \{1,2\} & \quad  \begin{array}{c}
                P \\ \hline
                \alpha
                \end{array} & \quad 
\begin{array}{cc}
      D^2 & \alpha \\ \hline
      11  & F \\
      12  & E \\
      21  & E \\
      22  & F
\end{array}
  \end{array}
  </br> </math> <math display="inline">V(\forall x \exists y P(x,y),I) = E</math> da, eta <math display="inline">V(\exists y P(y,y),I) = F</math>.</p></li>
  
<li><p>Hona hemen erregelaren aplikazio <span>'''okerraren'''</span> beste adibide bat: 
</br >
<math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x P(x,x) \\ \hline
        P(x,y)
  \end{array}</math> </br >
  Ez dira ordezkatu <math display="inline">x</math> aldagaiak <math display="inline">P(x,x)</math> formulan dituen agerpen aske guztiak <math display="inline">y</math> aldagaiarekin.</p>
  
<p>Horrez gain, argumentua baliogabea dela froga dezakegu.</p></li></ol>

* <math> \underline{\exists \mbox{ Zenbatzailea sartu.}} </math>

<math display="block">\begin{array}{c}
        A(r) \\ \hline
        \exists x A(x)
  \end{array}</math> Murriztapenak: <math display="inline">r</math> aske da <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">A(x)</math> formulan edo <math display="inline">r</math> konstantea da.

<span>'''2.29 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        P(x) \\ \hline
        \exists x P(x)
  \end{array}
\quad \quad
  \begin{array}{c}
        P(y) \\ \hline
        \exists x P(x)
  \end{array}</math> <math display="inline">x</math> eta <math display="inline">y</math> aske dira <math display="inline">x</math> aldagairako <math display="inline">P(x)</math> formulan.</p></li>
  
<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        P(x,y) \wedge \forall z R(z) \\ \hline
        \exists z (P(x,z) \wedge \forall z R(z)) \\
  \end{array}</math> <math display="inline">y</math> aske da <math display="inline">z</math> aldagairako <math display="inline">P(x,z) \wedge \forall z R(z)</math> formulan.</p></li>
  
<li>.
<p><math display="block">\begin{array}{c}
        P(x) \rightarrow Q(x) \\ \hline
        \exists y (P(x) \rightarrow Q(y))
  \end{array}</math> <math display="inline">x</math> aske da <math display="inline">y</math> aldagairako <math display="inline">P(x) \rightarrow Q(y)</math> formulan.</p></li>
  
<li>.
<p><math display="block">
\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x( P(x) \rightarrow Q(x))  & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } P(y) \rightarrow \exists x (P(x) \wedge Q(x)) \\
\rightarrow & 2. & P(y)                       & \mbox{BFEren hipotesia / } \dot{..} \mbox{  } \exists x (P(x) \wedge Q(x)) \\
\vline      & 3. & P(y) \rightarrow Q(y)              & \forall x\mbox{-ezab(1) (}y\mbox{ aske }x\mbox{-rako, } P(x) \rightarrow Q(x)\mbox{)} \\
\vline      & 4. & Q(y)                   & \mbox{MP(3,2)} \\
\vline      & 5. & P(y) \wedge Q(y)               & \mbox{KK(2,4)} \\
\vline      & 6. & \exists x (P(x) \wedge Q(x))       & \exists  x\mbox{-sar(5) (}y\mbox{ aske }x\mbox{-rako, } P(x) \wedge Q(x)\mbox{)} \\
--& -- & --------& \\
        & 7. & P(y) \rightarrow \exists x (P(x) \wedge Q(x))          & \mbox{BFE(2-6)}
  \end{array}</math></p></li>
  
<li><p>Erregelaren aplikazio <span>'''oker'''</span> bat:
</br >
<math display="block">\begin{array}{c}
        P(x) \leftrightarrow \neg P(y) \\ \hline
        \exists x (P(x) \leftrightarrow \neg P(x))
\end{array}
</br ></math> Erregela <span>'''gaizki'''</span> aplikatu dugu ez ditugulako ordezkatu <math display="inline">y</math> aldagaiarekin <math display="inline">x</math> aldagaiak <math display="inline">P(x) \leftrightarrow \neg P(x)</math> formulan dituen agerpen aske guztiak.</p>
<p>Eta argumentua baliogabea dela froga dezakegu.</p></li>
<li><p>Erregelaren beste aplikazio <span>'''oker'''</span> bat:
</br> <math display="block">\begin{array}{c}
        \forall x P(x,x) \\ \hline
        \exists y \forall x P(y,x)
  \end{array}</math> Erregela <span>'''gaizki'''</span> aplikatu dugu <math display="inline">x</math> <span>'''ez'''</span> delako aske <math display="inline">y</math> aldagairako <math display="inline">\forall x P(y,x)</math> formulan.</p>
<p>Eta argumentua baliogabea dela froga genezake.</p></li></ol>

* <math> \underline{\forall \mbox{ Zenbatzailea sartu.}} </math>
<p><math display="inline">\begin{array}{c}
       P_1 \\ \vdots \\ P_n \\ \hline A
 \end{array}</math> argumentua baliozkoa bada, <math display="inline">\begin{array}{c}
       P_1 \\ \vdots \\ P_n \\ \hline \forall x A
 \end{array}</math> argumentua ere baliozkoa izango da.</p>
<p>Murriztapenak: <math display="inline">P_1, \ldots, P_n</math> premisek ez dute <math display="inline">x</math> aske.</p>
<p>Erabilbidea: Argumentu baten froga formal batean, non ez premisek ez indarrean dauden hipotesiek ez duten <math display="inline">x</math> aske, frogaren formuletako bat <math display="inline">A</math> bada, <math display="inline">\forall</math> zenbatzailea sartzeko erregelatik <math display="inline">\forall x A</math> deduzi dezakegu. <math display="block">\begin{array}{lll}
        1.     & P_1         & \mbox{premisa}\\
        \vdots & \vdots      & \vdots \\
        n.     & P_n         & \mbox{premisa / }  \dot{..} \mbox{  } C \\
        \vdots & \vdots      & \\
        m.     & A           & \\
        m+1.   & \forall x A & \forall x \mbox{-sar(m)}\\
  \end{array}</math>
  </br >(<math display="inline">P_1, \ldots, P_n</math> premisek eta indarrean dauden hipotesiek ez dute <math display="inline">x</math> aske)</p>

<span>'''2.30 Adibideak.''' </span>

<ol>
<li>.
<p><math display="inline">
\begin{array}{lll}
1. & \forall y  P(y,y) \wedge \forall z R(z)   & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \forall y (P(y,y) \wedge R(y)) \\
2. & \forall y P(y,y)                  & \mbox{KS(1)} \\
3. & P(y,y)                                    & \forall y\mbox{-ezab(2) (}y\mbox{ aske da }y\mbox{ aldagairako } P(y,y)\mbox{ formulan)} \\
4. & \forall z R(z) \wedge \forall y P(y,y)    & \mbox{TRUK(1)} \\
5. & \forall z R(z)                        & \mbox{KS(4)} \\
6. & R(y)                                      & \forall z\mbox{-ezab(5) (}y\mbox{ aske da }z\mbox{ aldagairako }R(z)\mbox{ formulan)} \\
7. & P(y,y) \wedge R(y)                        & \mbox{KK(3,6)} \\
8. & \forall y (P(y,y) \wedge R(y))            & \forall y\mbox{-sar(7) (1ak ez du }y\mbox{ aske)} \\
 \end{array}</math></p></li>
 
<li>.
<p><math display="inline">\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))       & \mbox{premisa} \\
            & 2. & \forall x (R(x) \rightarrow \neg Q(x))  & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \forall x (R(x) \rightarrow \neg P(x)) \\
\rightarrow & 3. & R(x)                            &
\mbox{BFEren hipotesia / } \dot{..} \mbox{  } \neg P(x) \\
\vline      & 4. & R(x) \rightarrow \neg Q(x)              & \forall x\mbox{-ezab(2) (}x\mbox{ aske }x\mbox{-rako, } R(x) \rightarrow \neg Q(x)\mbox{)} \\
\vline      & 5. & \neg Q(x)                   & \mbox{MP(4,3)} \\
\vline      & 6. & P(x) \rightarrow Q(x)               & \forall x\mbox{-ezab(1) (}x\mbox{ aske }x\mbox{-rako } P(x) \rightarrow Q(x)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 7. & \neg P(x)                               & \mbox{MT(6,5)} \\ 
-- & --& ------& \\
        & 8. & R(x) \rightarrow \neg P(x)              & \mbox{BFE(3-7)} \\
            & 9. & \forall x (R(x) \rightarrow \neg P(x))  & \forall x\mbox{-sar(8)} \\
            &    &                                         &
            \mbox{(1ak eta 2ak ez dute }x\mbox{ aske; 3a. ez dago indarrean)} \\
 \end{array}</math></p></li>
 
<li><p>Aplikazio <span>'''okerraren'''</span> adibidea:</p>
<p><math display="inline">\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))       & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } P(x) \rightarrow \forall x Q(x) \\
\rightarrow & 2. & P(x)     &
\mbox{BFEren hipotesia / } \dot{..} \mbox{  } \forall x Q(x) \\
\vline      & 3. & P(x) \rightarrow Q(x)                   & \forall x\mbox{-ezab(1) (}x\mbox{ aske }x\mbox{-rako }P(x) \rightarrow Q(x)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 4. & Q(x)      & \mbox{MP(3,2)} \\
\vline      & 5. & \forall x Q(x)    & \forall x\mbox{-sar(4)} \\
            &    &           &
            \mbox{''gaizki!!'': 2 hipotesiak }x\mbox{ aske du} \\ 
-- & --& ------& \\
        & 6. & P(x) \rightarrow \forall x Q(x)   & \mbox{BFE(2-5)}
 \end{array}</math></p></li></ol>

* <math> \underline{\exists \mbox{ Zenbatzailea ezabatu.}} </math>
<p>(1) <math display="inline">\begin{array}{c}
           P_1 \\ \vdots \\ P_n \\ A \\ \hline C
     \end{array}</math> argumentua baliozkoa bada, (2) <math display="inline">\begin{array}{c}
           P_1 \\ \vdots \\ P_n \\ \exists x A \\ \hline C
     \end{array}</math> argumentua ere baliozkoa da.</p>
<p>Murriztapenak: <math display="inline">P_1, \ldots, P_n</math> premisek eta <math display="inline">C</math> ondorioak ez dute <math display="inline">x</math> aske.</p>
<p>Erabilbidea: (2) argumentu baten froga formalean, non ez premisek ez indarrean dauden hipotesiek ez duten <math display="inline">x</math> aske, frogaren formuletako bat <math display="inline">\exists x A</math> bada, <math display="inline">A</math> suposatuko dugu erregela aplikatzeko ((1) argumentua). Hipotesi horrekin <math display="inline">C</math> formula deduzituz gero, (1) argumentua frogatua dugu. Orduan, <math display="inline">C</math> formulak ere ez badu <math display="inline">x</math> aske, erregela aplikatuz, (2) argumentua ere baliozkoa dela esan ahal izango dugu. <math display="block">\begin{array}{lrll}
            & 1.     & P_1         & \mbox{premisa} \\
            & \vdots & \vdots      & \vdots \\
            & n.     & P_n         & \mbox{premisa} \\
            & \vdots & \vdots      & \\
            & p.     & \exists x A & \\
            & \vdots & \vdots      & \\
\rightarrow & q.     & A           &\exists x \mbox{-ezabatzeko hipotesia(p)} \\
\vline      & \vdots & \vdots      & \\
\vline      & m.     & C           & \\ 
-- & -- & --& \\
            & m+1.   & C           & \exists x \mbox{-ezab(p,q-m)} \\
  \end{array}</math> 
  </br>(<math display="inline">P_1, \ldots, P_n</math> premisek, hipotesiek eta <math display="inline">C</math> ondorioak ez dute <math display="inline">x</math> aske)</p>

<span>'''2.31 Adibideak.''' </span>
<ol>
<li>.
<p><math display="inline">
\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))       & \mbox{premisa} \\
            & 2. & \exists y P(y)                          & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \exists z Q(z) \\
\rightarrow & 3. & P(y)   & \exists y\mbox{-ezabatzeko hipotesia(2)} \\
\vline      & 4. & P(y) \rightarrow Q(y)                   & \forall x\mbox{-ezab(1) (}y\mbox{ aske }x\mbox{-rako } P(x) \rightarrow Q(x)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 5. & Q(y)  & \mbox{MP(4,3)} \\
\vline      & 6. & \exists z Q(z)  & \exists z\mbox{-sar(5) (}y\mbox{ aske da }z\mbox{ aldagairako } Q(z)\mbox{ formulan)} \\ 
-- & -- & -------& \\
        & 7. & \exists z Q(z)   &  \exists y\mbox{-ezab(2,3-6) (1ak, 2ak eta 6ak ez dute }y\mbox{ aske)}
 \end{array}</math></p></li>
 
<li>.
<p><math display="inline">\begin{array}{lrll}
            & 1. & \exists  x (P(x) \wedge Q(x))           & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \exists x P(x) \wedge \exists x Q(x) \\
\rightarrow & 2. & P(x) \wedge Q(x)  & \exists x\mbox{-ezabatzeko hipotesia(1)} \\
\vline      & 3. & P(x)  & \mbox{KS(2)} \\
\vline      & 4. & \exists x P(x)  & \exists x\mbox{-sar(3) (}x\mbox{ aske da }x \mbox{ aldagairako }P(x)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 5. & Q(x) \wedge P(x)  & \mbox{TRUK(2)} \\
\vline      & 6. & Q(x)  & \mbox{KS(5)} \\
\vline      & 7. & \exists x Q(x)  & \exists x\mbox{-sar(6) (}x\mbox{ aske da }x\mbox{ aldagairako } Q(x)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 8. & \exists x P(x) \wedge \exists x Q(x)    & \mbox{KK(4,7)} \\ 
-- & -- & --& \\
            & 9. & \exists x P(x) \wedge \exists x Q(x)    & \exists x\mbox{-ezab(1,2-8) (1ak eta 8ak ez dute }x\mbox{ aske)}
 \end{array}</math></p></li>
 
<li><p>Erregelaren aplikazio <span>'''okerraren'''</span> adibidea:</p>
<p><math display="inline">\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x \exists y P(x,y)              & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \forall y \exists x P(x,y) \\
            & 2. & \exists y P(x,y)  & \forall x\mbox{-ezab(1) (x aske da x aldagairako }\exists y P(x,y)\mbox{ formulan)} \\
\rightarrow & 3. & P(x,y)  & \exists y\mbox{-ezabatzeko hipotesia(2)} \\
\vline      & 4. & \exists x P(x,y)  & \exists x\mbox{-sar(3) (x aske da x aldagairako }P(x,y)\mbox{ formulan)} \\ 
-- & -- & --& \\
            & 5. & \exists x P(x,y)                        & \exists y\mbox{-ezab(2,3-4) ( ''gaizki''!!: 4 ondorioak y aske du)} \\
        & 6. & \forall y \exists x P(x,y)  & \forall y\mbox{-sar(5) (1ak eta 2ak ez dute y aske)}
 \end{array}</math></p></li>
 
<li><p>Argumentu beraren beste froga <span>'''oker'''</span> bat:</p>
<p><math display="inline">\begin{array}{lrll}
            & 1. & \forall x \exists y P(x,y)              & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \forall y \exists x P(x,y) \\
            & 2. & \exists y P(x,y)  & \forall x\mbox{-ezab(1) (x aske da x aldagairako }\exists y P(x,y)\mbox{ formulan)} \\
\rightarrow & 3. & P(x,y)  & \exists y\mbox{-ezabatzeko hipotesia(2)} \\
\vline      & 4. & \exists x P(x,y)  & \exists x\mbox{-sar(3) (x aske da x aldagairako }P(x,y)\mbox{ formulan)} \\
\vline      & 5. & \forall y \exists x P(x,y)  & \forall y\mbox{-sar(4) ('' gaizki''!!: 3 hipotesiak y aske du)} \\ 
-- & -- & --& \\
        & 6. & \forall y \exists x P(x,y)  & \exists y\mbox{-ezab(2,3-5) (1ak eta 5ak ez dute y aske)}
 \end{array}</math></p></li>
 
<li><p>Erregelaren beste aplikazio <span>'''oker'''</span> bat:</p>
<p><math display="inline">\begin{array}{llrll}
        &   & 1. & \exists x (P(x) \wedge R(x))        & \mbox{premisa} \\
        &   & 2. & \exists x (Q(x) \wedge R(x))        & \mbox{premisa / } \dot{..} \mbox{  } \exists x (P(x) \wedge Q(x))  \\
\rightarrow &         & 3.  & Q(x) \wedge R(x)     & \exists x\mbox{-ezabatzeko hipotesia(2)} \\
\vline      &         & 4.  & Q(x)             & \mbox{KS(3)} \\
\vline      & \rightarrow & 5.  & P(x) \wedge R(x)         & \exists x\mbox{-ezabatzeko hipotesia(1)} \\
\vline      & \vline      & 6.  & P(x)             & \mbox{KS(5)} \\
\vline      & \vline      & 7.  & P(x) \wedge Q(x)     & \mbox{KK(6,4)} \\
\vline      & \vline      & 8.  & \exists x (P(x) \wedge Q(x))  & \exists x\mbox{-sar(7) (x aske x-rako } P(x) \wedge Q(x)\mbox{ formulan)} \\ 
 & -- & -- & --& \\
\vline      &         & 9.  & \exists x (P(x) \wedge Q(x))  & \exists x\mbox{-ezab(1,5-8) (''gaizki''!!: 3 hipotesiak x aske du)} \\ 
-- & -- & --& --& \\
        &         & 10. & \exists x (P(x) \wedge Q(x))  & \exists x\mbox{-ezab(2,3-9) (1ak, 2ak eta 9ak ez dute x aske)}
 \end{array}</math></p></li></ol>