Matematika Diskretua/Multzoak Erlazioak Funtzioak

3. Gaia: Multzoak. Erlazioak. Funtzioak

3.1 Sarrera

Lehendabizi, multzo-teoriaren oinarrizko kontzeptuak aztertzen hasiko gara; ondoren, multzo baten elementuen arteko erlazioak ikusiko ditugu; eta bukatzeko, bi multzoren arteko funtzioak landuko ditugu.

Logikaren kontzeptuek lotura handia dute multzo-teoriarekin, eta gai honetan ikasiko ditugun froga asko kontzeptu horietan daude oinarriturik.

$\wedge$, $\vee$ eta $\mathrm{\neg }$ zeinuez gain, idazkera hau ere erabiliko dugu:

$⟹$: “halabeharrez”, “orduan”. $p⟹q$ adierazpenak esanahi hau du: “$q$ $p$-ren ondorio logikoa da”, hau da, $p$ egiazkoa bada, $q$-k ere egiazkoa izan behar du; eta honela irakurriko dugu: “baldin $p$ halabeharrez $q$”, “baldin $p$ orduan $q$”, “$p$ baldintza nahikoa da $q$-rako”, “$q$ baldintza beharrezkoa da $p$-rako”.

$⟺$: “baldin eta soilik baldin”. $p⟺q$ adierazpenak “$(p⟹q)\text{ eta }(q⟹p)$” esan nahi du; eta honela irakurriko dugu: “$p$ baldin eta soilik baldin $q$”, “$p$ baldintza nahikoa eta beharrezkoa da $q$-rako”.

$\mathrm{\forall }$: “bakoitzeko”, “guztietarako”, “edozein”. Zenbatzaile unibertsala da. $\mathrm{\forall }x$ honela irakurriko dugu: “$x$ bakoitzeko”, “$x$ guztietarako”, “edozein $x$”.

$\mathrm{\exists }$: “existitzen da”, “badago”. Zenbatzaile existentziala da. $\mathrm{\exists }x$ honela irakurriko dugu: “badago (gutxienez) $x$ (bat)”, “(gutxienez) $x$ bat existitzen da”.

$\mathrm{\exists }!$: “bakar bat existitzen da”, “existitzen da eta bakarra da”.

$\mathrm{\exists }$: “ez dago”, “ez da existitzen”.

3.2 Multzoak

3.2.1 Multzoak eta azpimultzoak

3.1 Definizioa. Multzo bat ongi definitutako objektuen bilduma bat da. Objektu horiek elementu deitzen dira, multzoaren elementuak.

Ongi definitutako bilduma esaten dugunean, esan nahi dugu, edozein objektu izanik, erabaki ahal izango dugula objektu hori multzoaren elementua den, edo ez.

Multzo bat bi eratan defini dezakegu:

• Hedapenaren arabera: bere elementu guztiak banan-banan aipatuz,

$A=\{0,1,2,\dots ,20\}.$

• Ulermenaren arabera: Bere elementuen ezaugarriak erakusten dituzten propietateak aipatuz,

$A=\{x/x\text{ zenbaki osoa da eta}0\le x\le 20\}.$

Idazkera. Oro har, multzoak letra larriz izendatuko ditugu ($A$, $B$, $C$, $X$, $\dots$), eta elementuak letra xehez $(a,b,c,x,\dots )$.

$x$ objektua $A$ multzoaren elementua dela esateko $x\in A$ idatziko dugu ($x$ barne $A$, $x$ $A$ multzoan dago, $x$ $A$ multzoaren elementua da). $x$ objektua $A$ multzoaren elementua ez dela esateko, $x\in ̸A$ idatziko dugu.

3.2 Adibidea. $A=\{0,1,2,\dots ,20\}$ bada, $11\in A$, $21\in ̸A$ idatz ditzakegu.

Maiz erabiltzen diren multzo batzuk sinbolo bereziez adierazten dira:

Zenbaki arrunten multzoa: $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$.

Zenbaki osoen multzoa: $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.

Zenbaki arrazionalen multzoa: $\mathbb{Q}=\{x/x=\frac{a}{b},\text{ non }a,b\in \mathbb{Z}\text{ eta }b\ne 0\}$.

Zenbaki errealen multzoa: $ℝ$.

Zenbaki konplexuen multzoa: $ℂ$.

$0$-ren desberdinak diren zenbaki arrunten multzoa (edo zenbaki oso positiboen multzoa):

${\mathbb{N}}^{\ast }={\mathbb{Z}}^{+}=\{x/x\in \mathbb{N}\text{ eta }x\ne 0\}=\{x/x\in \mathbb{Z}\text{ eta }x>0\}$.

Antzeko eran, ${\mathbb{Z}}^{\ast }$, ${\mathbb{Z}}^{-}$, ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, ${\mathbb{Q}}^{+}$, ${\mathbb{Q}}^{-}$, ${ℝ}^{\ast }$, ${ℝ}^{+}$, ${ℝ}^{-}$, ${ℂ}^{\ast }$.

3.3 Definizioa. Elementu kopuru finitua duen $A$ multzo bat izanik, $A$ multzoaren elementu kopuruari $A$ multzoaren kardinal deituko diogu eta honela adieraziko dugu: $|A|$, $\text{card}(A)$ edo $\mathrm{\#}A$.

3.4 Adibidea. $A=\{0,1,2,\dots ,20\}$ bada, $\text{card}(A)=21$ izango da.

3.5 Definizioa. $A$ multzoa $B$ multzoaren azpimultzoa dela esango dugu, eta $A\subseteq B$ idatzi, $A$ multzoaren elementu guztiak $B$ multzoaren elementuak badira. Hau da,

$x\in A⟹x\in B$

betetzen bada.

Adierazpen hauek ere erabiliko ditugu: $A$ $B$ multzoaren partea da; $A$ multzoa $B$ multzoan dago; $B$ multzoak $A$ multzoa barruan dauka.

$A$ ez bada $B$ multzoaren azpimultzoa, $A\subseteq ̸B$ idatziko dugu. Kasu horretan gutxienez $A$ multzoaren elementu bat ez dago $B$ multzoan:

$\mathrm{\exists }x\in A,\text{ non }x\in ̸B\text{ den}.$

Ohar gaitezen, $A$ edozein multzo izanik, ondoko hau betetzen dela:

$A\subseteq A.$

3.6 Adibidea. $A=\{0,1,2\}$ eta $B=\{-2,-1,0,1,2\}$ badira, $A\subseteq B$ eta $B\subseteq ̸A$ betetzen dira.

3.7 Definizioa. $A$ eta $B$ multzoak berdinak direla esango dugu, eta $A=B$ idatziko dugu, elementu berak badauzkate. Hau da,

$x\in A⟺x\in B$

betetzen bada; edo gauza bera dena, $A\subseteq B$ eta $B\subseteq A$ betetzen badira.

3.8 Definizioa. $A$ multzoa $B$ multzoaren azpimultzo propioa da, eta $A\subset B$ idatziko dugu, $A\subseteq B$ bada, baina $A\ne B$; hau da,

$x\in A⟹x\in B,$

eta

$\mathrm{\exists }x\in B,\text{ non }x\in ̸A\text{ den}$

betetzen badira.

Honela ere esan dezakegu: $A$ multzoa $B$ multzoaren parte propioa da, edo $A$ multzoa zeharo dago $B$ multzoan, edo $B$ multzoak $A$ multzoa zeharo barruan dauka.

3.9 Adibidea. $A=\{0,1,2\},B=\{-2,-1,0,1,2\}\text{ eta }C=\{x/x\in \mathbb{Z}\text{ eta }0\le x\le 2\}$ baditugu, $A=C\subset B$ betetzen da.

Multzoaren kontzeptua zabalduz, definizio hauek eman ditzakegu:

3.10 Definizioa. Elementurik ez duen multzoari multzo huts deituko diogu. $\mathrm{\varnothing }$ adierazten da.

Ohar gaitezen $\mathrm{\varnothing }\ne \{\mathrm{\varnothing }\}$ dela; izan ere, $\mathrm{\varnothing }$ elementurik ez duen multzoa den bitartean, $\{\mathrm{\varnothing }\}$ elementu bakarra duen multzo bat da, elementu hori $\mathrm{\varnothing }$ izanik. Bestalde, $\mathrm{\varnothing }\ne 0$ dela ere esan behar dugu; $\mathrm{\varnothing }$ elementurik ez duen multzoa delako eta $0$ zenbaki bat delako. Azkenik, $\mathrm{\varnothing }\ne \{0\}$, $\mathrm{\varnothing }$ elementurik ez duen multzoa delako eta, $\{0\}$ elementu bakarra, $0$, duen multzo bat delako.

Horrez gain, $A$ edozein multzo izanik,

$\mathrm{\varnothing }\subseteq A.$

Izan ere,

$x\in \mathrm{\varnothing }⟹x\in A$

betetzen da, $x\in \mathrm{\varnothing }$ beti faltsua delako. (Ba al dago $\mathrm{\varnothing }$ multzoan elementuren bat $A$ multzoan ez dagoena?)

3.11 Definizioa. Elementu guztiak dituen multzoari multzo unibertsal edo erreferentzi multzo deituko diogu. $U$ izendatuko dugu.

Esate baterako, zenbaki errealen propietateak aztertzen ari bagara, $ℝ$ hartuko dugu multzo unibertsaltzat.

$A$ edozein multzo izanik,

$A\subseteq U$

betetzen da. Izan ere,

$x\in A⟹x\in U$

beti betetzen da, $x\in U$ beti delako egiazkoa.

3.12 Definizioa. $A$ multzo bat izanik, $A$ multzoaren parteen multzo edo $A$ multzoaren potentzia multzo deituko diogu elementutzat $A$ multzoaren azpimultzo guztiak dituenari. $𝒫(A)$ adieraziko dugu.

3.13 Adibidea. $A=\{0,1,2\}$ bada,

$𝒫(A)=\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},A\}$

izango da.

$A$ finitua bada eta $\text{card}(A)=n$ bada,

$\text{card}(𝒫(A))=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$

beteko da.

3.2.2 Multzoen arteko eragiketak

Izan bitez $A$ eta $B$ bi multzo.

3.14 Definizioa.

• $A\subseteq B$ bada,

  $C_B(A):=\{x/x\in B\text{ eta }x\in ̸A\}$

  multzoari $A$ multzoaren multzo osagarri $B$ multzoan deituko diogu, eta $C_B(A)$ idatziko dugu.

  $B=U$ (unibertsala) bada, $C_U(A)$ multzoari $A$ multzoaren multzo osagarri bakarrik deituko diogu eta $A^c$ adieraziko dugu.

  $A^c:=\{x/x\in ̸A\}$

  Multzo baten osagarria

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko ebakidura multzo deituko diogu eta $A\cap B$ adieraziko dugu:

  $A\cap B:=\{x/x\in A\text{ eta }x\in B\}$

  Bi multzoren arteko ebakidura

  $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ bada, $A$ eta $B$ multzo disjuntuak direla esango dugu.

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko bildura multzo deituko diogu eta $A\cup B$ adieraziko dugu:

  $A\cup B:=\{x/x\in A\text{ edo }x\in B\}$

  Bi multzoren arteko bildura

  $A$ eta $B$ multzo disjuntuak badira, $A$ eta $B$ multzoen arteko bildura $\cup$ sinboloaren gainean puntu bat duela adierazi ohi da, honela: $A\dot{\cup }B$.

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko kendura multzo deituko diogu eta $B\setminus A$ adieraziko dugu:

  $B\setminus A:=\{x/x\in B\text{ eta }x\in ̸A\}$

  Bi multzoren arteko kendura

  $A\subseteq B$ bada, $B\setminus A=C_B(A)$ berdintza beteko da.

3.15 Adibidea. Izan bitez $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $B=\{0,2,4,6,8,10\}$, $C=\{1,3,5,7,9\}$, $D=\{0,1,2,3,4,5\}$ eta $U=\mathbb{N}$ multzoak. Hau dena betetzen da:

$C_A(B)=A\setminus B=C$;		$A^c=\{x/x\in \mathbb{N}\text{ eta }x\ge 11\}$;
$B\cap D=\{0,2,4\}$;		$B$ eta $C$ disjuntuak dira;
$B\cup D=\{0,1,2,3,4,5,6,8,10\}$;		$B\cup C=B\dot{\cup }C=A$;
$C\setminus D=\{7,9\}$.

3.16 Propietateak.

Trukatze-legea:
$A\cup B=B\cup A$	$A\cap B=B\cap A$
Elkartze-legea:
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$	$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
Banatze-legea:
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$	$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
De Morgan-en legeak:
$(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$	$(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$
Idenpotentzia:
$A\cup A=A$	$A\cap A=A$
$A\cup U=U$	$A\cap U=A$
$A\cup A^C=U$	$A\cap A^C=\mathrm{\varnothing }$
$A\cup \mathrm{\varnothing }=A$	$A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$
$A\subseteq A\cup B$	$A\cap B\subseteq A$
$U^C=\mathrm{\varnothing }$	${\mathrm{\varnothing }}^C=U$
$(A^C{)}^C=A$

Froga.

Propietate horiek lokailu logikoen propietateak erabiliz frogatzen dira.

Adibide gisa, horietako bi frogatuko ditugu.

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

  Multzoen arteko berdintza frogatu behar dugu; hortaz, ondoko hau frogatu beharko dugu (3.7 Definizioa):

  1. $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$,

  2. $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$.

  1. $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$ frogatzeko, beste hau frogatu behar dugu:
     $x\in A\cup (B\cap C)⟹x\in (A\cup B)\cap (A\cup C).$

     $x\in A\cup (B\cap C)⟹(x\in A)\vee (x\in B\cap C)\text{ (}\cup \text{ bilketaren definizioa) }⟹$

     $⟹(x\in A)\vee (x\in B\wedge x\in C)\text{ (}\cap \text{ ebaketaren definizioa) }⟹$

     $⟹(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C)\text{ (}\vee \text{ disjuntzioaren banakortasuna }$

     $\wedge \text{ konjuntzioarekiko) }⟹(x\in A\cup B)\wedge (x\in A\cup C)\text{ (}\cup \text{ bilketaren definizioa) }⟹$

     $⟹x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\text{ (}\cap \text{ ebaketaren definizioa). }$

  2. $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$ antzeko eran frogatzen da:

     $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)⟹(x\in A\cup B)\wedge (x\in A\cup C)\text{ (}\cap \text{ ebaketaren definizioa) }⟹$

     $⟹(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C)\text{ (}\cup \text{ bilketaren definizioa) }⟹$

     $⟹(x\in A)\vee (x\in B\wedge x\in C)\text{ (}\vee \text{ disjuntzioaren banakortasuna }$

     $\wedge \text{ konjuntzioarekiko) }⟹(x\in A)\vee (x\in B\cap C)\text{ (}\cap \text{ ebaketaren definizioa) }⟹$

     $⟹x\in A\cup (B\cap C)\text{ (}\cup \text{ bilketaren definizioa). }$

• $A\subseteq A\cup B$:

  $x\in A⟹(x\in A)\vee (x\in B)\text{ (erantsiz) }⟹x\in A\cup B\text{ (}\cup \text{ bilketaren definizioa).}$ $◻$ $◼$ $◻$

Bilketaren eta ebaketaren elkarkortasunak aukera ematen digu $A\cup B\cup C$ eta $A\cap B\cap C$ idazteko, parentesirik erabili gabe. Horrek, trukakortasunarekin batera, aukera ematen digu zenbait multzoren arteko bilketaz eta ebaketaz hitz egiteko, multzoak ordenan eman beharrik gabe.

$I$ indizeen multzo ez-huts bat bada eta $i\in I$ bakoitzeko $A_i$ multzo bat bada,

$\bigcup _{i\in I}{A}_i:=\{x/\mathrm{\exists }i\in I,\text{ non }x\in A_i\},$

$\bigcap _{i\in I}{A}_i:=\{x/\mathrm{\forall }i\in Ix\in A_i\}.$

3.17 Adibideak.

1. Izan bedi $A_i=\{1,\dots ,i\}$ $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ bakoitzeko. Orduan,
   $\bigcup _{i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{A}_i={\mathbb{N}}^{\ast }\text{ eta }\bigcap _{i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{A}_i=\{1\}.$
2. $i\in \mathbb{Z}$ bakoitzeko, izan bedi $A_i=\{i,i+1\}$. Orduan,
   $\bigcup _{i\in \mathbb{Z}}{A}_i=\mathbb{Z}\text{ eta }\bigcap _{i\in \mathbb{Z}}{A}_i=\mathrm{\varnothing }.$

Froga genitzake De Morganen lege orokortuak

${\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)}^c=\bigcap _{i\in I}{A}_i^c,$

${\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)}^c=\bigcup _{i\in I}{A}_i^c.$

3.2.3 Multzo baten partiketa

3.18 Definizioa. $A$ multzo bat izanik, $A$ multzoaren partiketa bat $A$ multzoaren azpimultzo ez-hutsen familia bat da, non multzoak binaka hartuta disjuntuak diren eta guztien bildura $A$ den. Hau da,

Multzo baten partiketa

$𝒫=\{A_i/i\in I\}$ familia $A$ multzoaren partiketa bat da hiru baldintza hauek betetzen badira:

• $(\mathrm{\forall }i\in I)$ $\mathrm{\varnothing }\ne A_i\subseteq A$,
• $(\mathrm{\forall }i,j\in I)$ $A_i\ne A_j⟹A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$,
• ${\dot{\bigcup }}_{i\in I}{A}_i=A$.

$A_i$ azpimultzoei partiketaren klase deituko diegu.

3.19 Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ izanik,

   $A_1=\{1,3,5,7,9\}$ eta $A_2=\{2,4,6,8,10\}$ multzoek $A$ multzoaren bi klaseko partiketa bat osatzen dute: $𝒫=\{A_1,A_2\}$;

   $B_1=\{1,2,3\}$, $B_2=\{4,6,8,10\}$ eta $B_3=\{5,7,9\}$ multzoek $A$ multzoaren hiru klaseko partiketa bat osatzen dute: ${𝒫}^{\prime }=\{B_1,B_2,B_3\}$.

2. $𝒫=\{{\mathbb{Z}}^{-},\{0\},{\mathbb{Z}}^{+}\}$ familia $\mathbb{Z}$ multzoaren partiketa bat da.

Definizioaren ondorioa. $A$ multzoaren partiketa bat $𝒫=\{A_i/i\in I\}$ bada, $A$ multzoaren elementu bakoitza $𝒫$ partiketaren klase bakar baten elementua izango da:

$\mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\exists }!A_i\in 𝒫,\text{ non }x\in A_i.$

3.2.4 Bi multzoren arteko biderketa kartesiarra

3.20 Definizioa. Izan bedi $a$ eta $b$ bi objektuen bilduma bat, non $a$ lehenengo osagaia den eta $b$ bigarren osagaia den, bilduma horri $(a,b)$ bikote ordenatu deituko diogu.

Antzeko eran definitzen dira $(a,b,c)$ hirukotea, $(a,b,c,d)$ laukotea... eta, orokorrean, $(a_1,\dots ,a_n)$ $n$-kotea.

Beraz, $(a,b)\ne (b,a)$ eta $\{a,b\}=\{b,a\}$ betetzen dira.

Bestalde, $(a,b)$ eta $(c,d)$ bikoteak berdinak dira $a=c$ eta $b=d$ badira.

3.21 Definizioa. $A$ eta $B$ bi multzo izanik, $A$ eta $B$ multzoen arteko biderkadura kartesiar deituko diogu, eta $A\times B$ adieraziko dugu, lehenengo osagaitzat $A$ multzoaren elementua eta bigarren osagaitzat $B$ multzoaren elementua duten bikote ordenatu guztien multzoari:

$A\times B:=\{(a,b)/a\in A,b\in B\}.$

Antzeko eran definitzen da $A_1,\dots ,A_n$ $n$ multzoen arteko biderkadura kartesiarra

$A_1\times \cdots \times A_n:=\{(x_1,\dots ,x_n)/x_i\in A_i,i=1,\dots ,n\}.$

Idazkera. $A^n=A\times \stackrel{n}{\cdots }\times A$.

3.22 Adibideak. Izan bitez $A=\{a,b\},B=\{1,2,3\},C=\{a\}$. Orduan,

$A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$;

$B\times A=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$;

$A\times B\times C=\{(a,1,a),(a,2,a),(a,3,a),(b,1,a),(b,2,a),(b,3,a)\}$;

$B^2=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$;

$A^3=\{(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)\}$;

$C^7=\{(a,a,a,a,a,a,a)\}$.

3.3 Erlazioak

3.3.1 Definizioak

3.23 Definizioa. $A$ multzoa izanik, $A$ multzoaren gaineko erlazio bitar bat $A\times A$ biderkadura kartesiarraren $ℛ$ azpimultzo bat da:

$ℛ\subseteq A\times A.$

$(a,b)\in ℛ$ bada, $a$ $b$-rekin ($ℛ$ erlazioaren bidez) erlazionaturik dagoela esango dugu, eta $aℛb$ idatziko dugu.

$(a,b)\notin ℛ$ bada, $a$ ez dagoela $b$-rekin ($ℛ$ erlazioaren bidez) erlazionaturik esango dugu, eta $aℛb$ idatziko dugu.

3.24 Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$. ${ℛ}_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}.$
2. $A=\mathbb{Z}$. ${ℛ}_2=\{(x,y)/x,y\in \mathbb{Z}\text{ eta }x\le y\}.$ Edo, $x,y\in \mathbb{Z}$ izanik, $x{ℛ}_{2}y⟺x\le y$.
3. $A={\mathbb{N}}^{\ast }$. ${ℛ}_3=\{(x,y)/x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ eta }xy\text{-ren zatitzailea da}\}.$ Edo, $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ izanik, $x{ℛ}_{3}y⟺xy\text{-ren zatitzailea da.}$ (Hori $x\mid y$ idatzi ohi da.)
4. $A={\mathbb{N}}^{\ast }$. ${ℛ}_4=\{(1,1),(2,2)\}.$
5. $A=\mathbb{Z}$. $x,y\in \mathbb{Z}$ izanik, $x{ℛ}_{5}y⟺|x|=|y|.$ Edo, baliokidea dena, ${ℛ}_5=\{(x,y)/x,y\in \mathbb{Z}\text{ eta }|x|=|y|\}.$ ($x\in \mathbb{Z}$ bada, $|x|$ $x$-ren balio absolutua da).

3.25 Definizioa. $A$ multzoaren gaineko $ℛ$ erlazio bitarra izanik:

• $ℛ$ bihurkorra dela edo bihurtze-propietatea betetzen duela esango dugu

$(\mathrm{\forall }x\in A)(x,x)\in ℛ\text{ bada,}$ edo, baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }x\in A)xℛx\text{ bada}.$

• $ℛ$ simetrikoa dela edo simetria-propietatea betetzen duela esango dugu

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)(x,y)\in ℛ⟹(y,x)\in ℛ\text{ bada,}$ edo, baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)xℛy⟹yℛx\text{ bada}.$

• $ℛ$ antisimetrikoa dela edo antisimetria-propietatea betetzen duela esango dugu

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)(x,y)\in ℛ\text{ eta }(y,x)\in ℛ⟹x=y\text{ bada,}$ edo, baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)xℛy\text{ eta }yℛx⟹x=y\text{ bada}.$

• $ℛ$ iragankorra dela edo iragate-propietatea betetzen duela esango dugu

$(\mathrm{\forall }x,y,z\in A)(x,y)\in ℛ\text{ eta }(y,z)\in ℛ⟹(x,z)\in ℛ\text{ bada,}$ edo, baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }x,y,z\in A)xℛy\text{ eta }yℛz⟹xℛz\text{ bada}.$

3.26 Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$ multzoan, ${ℛ}_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ erlazioa bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra da. Ez da antisimetrikoa.
2. ${ℛ}_2=\{(x,y)/x,y\in \mathbb{Z}\text{ eta }x\le y\}$, hau da, $\mathbb{Z}$ multzoan, $x{ℛ}_{2}y$ baldin $x\le y$.
   • Bihurkorra da: $x\in \mathbb{Z}$ bakoitzeko, $x\le x$. Beraz, $x\in \mathbb{Z}$ bakoitzeko, $x{ℛ}_{2}x$.
   • Ez da simetrikoa: $0{ℛ}_{2}7$, baina $7{ℛ}_{2}0$.
   • Antisimetrikoa da: $x,y\in \mathbb{Z}$ guztietarako, $x{ℛ}_{2}y\text{ eta }y{ℛ}_{2}x⟹x\le y\text{ eta }y\le x⟹x=y.$
   • Iragankorra da: $x,y,z\in \mathbb{Z}$ guztietarako, $x{ℛ}_{2}y\text{ eta }y{ℛ}_{2}z⟹x\le y\text{ eta }y\le z⟹x\le z⟹x{ℛ}_{2}z.$
3. ${ℛ}_3=\{(x,y)/x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ eta }x\mid y\},$ hau da, 4.1 Definizioaren arabera, ${\mathbb{N}}^{\ast }$ multzoan $x{ℛ}_{3}y$ baldin $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}$, non $y=kx$ den.
   • Bihurkorra da: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ guztietarako, $x{ℛ}_{3}x$, hau da, $x\mid x$. Bai, $k=1\in \mathbb{Z}$ existitzen delako, non $x=1\cdot x$ den.
   • Ez da simetrikoa: $2{ℛ}_{3}8$, baina $8{ℛ}_{3}2$ ($2$-k zatitzen du $8$, baina $8$-k ez du zatitzen $2$). Bai, $\mathrm{\exists }k=4\in \mathbb{Z},\text{ non }8=4\cdot 2\text{ den, baina }\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }2=8k\text{ den}.$
   • Antisimetrikoa da: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ izanik, demagun $x{ℛ}_{3}y\text{ eta }y{ℛ}_{3}x$ betetzen direla; frogatu behar dugu $x=y$ dela. $\begin{array}{c}x{ℛ}_{3}y\\ y{ℛ}_{3}x\end{array}\}⟹\begin{array}{c}x\mid y\\ y\mid x\end{array}\}⟹\begin{array}{c}y=kx,k\in \mathbb{Z}\\ x=ly,l\in \mathbb{Z}\end{array}\}$ eta ondorioz, $x=lkx,lk\in \mathbb{Z}⟹lk=1.$ Bi aukera daude, $l,k\in \mathbb{Z}$ izanik, $l=k=1$ edo $l=k=-1$. Hortik, $x=y$ edo $x=-y.$ Baina $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }⟹x,y>0⟹x=y.$
   • Iragankorra da: $x,y,z\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ guztietarako, $\begin{array}{c}x{ℛ}_{3}y\\ y{ℛ}_{3}z\end{array}\}⟹\begin{array}{c}x\mid y\\ y\mid z\end{array}\}⟹\begin{array}{c}y=kx,k\in \mathbb{Z}\\ z=ly,l\in \mathbb{Z}\end{array}\}$ eta ondorioz,$z=lkx,lk\in \mathbb{Z}⟹x\mid z⟹x{ℛ}_{3}z.$
4. $A={\mathbb{N}}^{\ast }$ multzoan, ${ℛ}_4=\{(1,1),(2,2)\}$ erlazioa simetrikoa, antisimetrikoa eta iragankorra da; eta ez da bihurkorra.
5. $A=\mathbb{Z}$ multzoan, $x{ℛ}_{5}y⟺|x|=|y|$ erlazioa bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra da. Ez da antisimetrikoa.

3.3.2 Ordena-erlazioak

3.27 Definizioa. $A$ multzoaren gaineko $ℛ$ erlazio bitar bat ordena-erlazioa da bihurkorra, antisimetrikoa eta iragankorra bada.

$A$ multzo batek $ℛ$ ordena-erlazio bat badu definiturik, $ℛ$ erlazioak $A$ multzoa ordenatzen duela edo $A$ multzo ordenatua dela esango dugu.

3.28 Definizioa. $A$ multzoaren gaineko $ℛ$ ordena-erlazio bat ordena osoko erlazioa dela (ordena totala) esango dugu

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)(x,y)\in ℛ$ edo $(y,x)\in ℛ$ bada,

edo baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }x,y\in A)xℛy$ edo $yℛx$ bada.

Kasu horretan, $ℛ$ erlazioak $A$ multzoa osoki ordenatzen duela edo $A$ multzo osoki ordenatua dela esango dugu.

Bestela, $ℛ$ erlazioa ordena partzialeko erlazioa izango da, eta $ℛ$ erlazioak $A$ multzoa partzialki ordenatzen duela edo $A$ multzo partzialki ordenatua dela esango dugu.

3.29 Adibideak.

1. ${ℛ}_2=\{(x,y)/x,y\in \mathbb{Z}\text{ eta }x\le y\}$ ordena-erlazioa da $\mathbb{Z}$ multzoan; hau da, ${ℛ}_2$ erlazioak $\mathbb{Z}$ multzoa ordenatzen du. Erlazioa ordena osoko erlazioa da: $x,y\in \mathbb{Z}$ guztietarako, $x\le y$ edo $y\le x$ delako.

2. ${ℛ}_3=\{(x,y)/x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ eta }x\mid y\}$ ordena-erlazioa da ${\mathbb{N}}^{\ast }$ multzoan. ${ℛ}_3$ erlazioak ${\mathbb{N}}^{\ast }$ multzoa ordenatzen du. Erlazioa ordena partzialeko erlazioa da: $3{ℛ}_{3}7$ eta $7{ℛ}_{3}3$, hots, $3$ eta $7$ ez daude elkarrekin erlazionaturik.

3.3.3 Baliokidetasun-erlazioak

3.30 Definizioa. $A$ multzoaren gaineko $ℛ$ erlazio bitar bat baliokidetasun-erlazioa da bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra bada.

3.31 Adibideak.

1. 

   ${ℛ}_1$ baliokidetasun-erlazioaren grafoa

   $A=\{1,2,3,4\}$ multzoaren gainean, ${ℛ}_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ baliokidetasun-erlazioa da.

   Grafo moduan adieraz daiteke, non $A$ erpinen multzoa den eta ${ℛ}_1$ ertzen multzoa den. Horrela, bere adierazpen grafikoan erraz ikus daiteke hiru baldintzak betetzen direla:

   
   

2. $\mathbb{Z}$ multzoan, $x{ℛ}_{5}y⟺|x|=|y|$ baliokidetasun-erlazioa da.

3.32 Definizioa. Izan bedi $ℛ$ baliokidetasun-erlazio bat $A$ multzoaren gainean, eta $a\in A$ elementu bat; $a$-rekin erlazionaturik dauden $A$ multzoaren elementu guztien multzoari $a$ elementuaren baliokidetasun-klase deituko diogu, eta $[a{]}_{ℛ}$ idatziko dugu:

$\begin{array}{cc}[a{]}_{ℛ}& :=\{x\in A/(x,a)\in ℛ\}\\ & \\ & =\{x\in A/xℛa\}.\end{array}$

Ez badu nahasmenik sortzen, $[a]$ idatziko dugu $[a{]}_{ℛ}$ idatzi beharrean.

3.33 Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$ multzoaren gaineko ${ℛ}_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ erlaziorako bi baliokidetasun-klase desberdin dauzkagu: $[1]=[2]=[3]=\{1,2,3\}\text{eta}[4]=\{4\}.$
2. ${ℛ}_5$ erlazioa izanik $\mathbb{Z}$ multzoan, $x{ℛ}_{5}y⟺|x|=|y|,$ $x\in \mathbb{Z}$ guztietarako, $[x]=\{-x,x\}\text{ dugu}.$

3.34 Teorema. $A$ multzoaren gaineko $ℛ$ baliokidetasun-erlazioa izanik,

1. $(\mathrm{\forall }x\in A)x\in [x].$
2. $(\mathrm{\forall }x,y\in A)xℛy⟺[x]=[y].$
3. $(\mathrm{\forall }x,y\in A)[x]\ne [y]⟹[x]\cap [y]=\mathrm{\varnothing }.$
4. $\bigcup _{x\in A}[x]=A.$

Froga.

1. $ℛ$ bihurkorra denez, $x\in A$ guztietarako $xℛx$ da, eta, beraz, $[x]$ klasearen definizioaren arabera, $x\in [x]$ betetzen da.

2. $x,y\in A$ guztietarako, $xℛy⟺[x]=[y]$ dela frogatu behar dugu:

   $⟹$)

   Demagun $xℛy$ dela. $[x]=[y]$ dela frogatu behar dugu. Horetarako frogatuko ditugu $[x]\subseteq [y]$ eta $[x]\supseteq [y]$:

   $\subseteq$ )

   $\begin{array}{c}z\in [x]⟹zℛx([x]\text{-aren definizioz})⟹\left\{\begin{array}{c}zℛx\\ xℛy\text{ (hipotesiz) }\end{array}\right\}⟹\\ \\ ⟹zℛy(ℛ\text{ iragankorra delako})⟹z\in [y]([y]\text{-aren definizioz}).\end{array}$

   $\supseteq$ )

   $\begin{array}{c}z\in [y]⟹zℛy([y]\text{-aren definizioz})⟹\left\{\begin{array}{c}zℛy\\ xℛy\text{ (hipotesiz)}\end{array}\right\}⟹\\ \\ ⟹\left\{\begin{array}{c}zℛy\\ yℛx(ℛ\text{ simetrikoa delako})\end{array}\right\}⟹zℛx(ℛ\text{ iragankorra delako})⟹\\ \\ ⟹z\in [x]([x]\text{-aren definizioz}).\end{array}$

   $⟸$)

   Demagun $[x]=[y]$ dela. $xℛy$ dela frogatu behar dugu.

   1.aren arabera $x\in [x]$ denez eta hipotesiz $[x]=[y]$ denez, $x\in [y]$ betetzen da. $[y]$-aren definiziotik $xℛy$ lortuko dugu.

3. Edozein $x,y\in A$ izanik, demagun $[x]\ne [y]$ dela. $[x]\cap [y]=\mathrm{\varnothing }$ beteko dela frogatu behar dugu.

   Absurdora eramanez egingo dugu, $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }$ dela pentsatuz eta kontraesan batera helduz.

   $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }⟹\mathrm{\exists }z\in [x]\cap [y]⟹\left\{\begin{array}{c}z\in [x]⟹zℛx⟹xℛz\\ z\in [y]⟹zℛy\end{array}\right\}⟹xℛy⟹[x]=[y]\text{ (2.aren arabera)}.$
   Kontraesan batera heldu gara, hipotesiz $[x]\ne [y]$ delako. Beraz, $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }$ ezin da izan; hortaz, $[x]\cap [y]=\mathrm{\varnothing }$ beteko da.

4. $\subseteq$ )

   Edozein $x\in A$ izanik, $[x]\subseteq A$; hortaz, $\bigcup _{x\in A}[x]\subseteq A$.

   $\supseteq$ )

   $z\in A⟹z\in [z]\text{ (1.aren arabera) }⟹z\in \bigcup _{x\in A}[x](\cup \text{-ren definizioz}).$ $◻$ $◼$ $◻$

3.35 Korolarioa. Izan bedi $ℛ$ baliokidetasun-erlazioa $A$ multzoaren gainean. Erlazio horren baliokidetasun-klase guztien familia,

$𝒫=\{[x]/x\in A\},$

$A$-ren partiketa bat da.

Froga.

3.34 Teoremaren 1, 3 eta 4 propietateak $𝒫$ familiak partiketa izateko bete behar dituen baldintzak dira (ikus 3.18 Definizioa). $◻$ $◼$ $◻$

Partiketaren definizioaren ondorioz, $A$-ren elementu bakoitza klase bakar baten elementua da:

$\mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\exists }![a]\in 𝒫/x\in [a],$

eta $[a]$ klasearen edozein elementuri klasearen ordezkari deituko diogu.

3.36 Definizioa. Izan bedi $ℛ$ baliokidetasun-erlazioa $A$ multzoaren gainean. Erlazio horren baliokidetasun-klase guztien multzoari $A$ gain $ℛ$ zatidura multzo deituko diogu, eta $A/ℛ$ adieraziko dugu:

$A/ℛ:=\{[x]/x\in A\}.$

3.37 Adibideak.

1. ${ℛ}_1$ erlazioa izanik $A=\{1,2,3,4\}$ multzoan,
   ${ℛ}_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\},$
   $[1]$ klaseak hiru elementu dituenez, hiruetako edozein izan daiteke ordezkari: $1$, $2$ edo $3$. $[4]$ klaseak, ordea, ordezkari bakarra du: $4$. Beraz,
   $A/{ℛ}_1=\{[1],[4]\}=\{[2],[4]\}=\{[3],[4]\}.$
2. ${ℛ}_5$ erlazioa izanik $\mathbb{Z}$ multzoan,
   $x{ℛ}_{5}y⟺|x|=|y|,$
   $x\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ guztietarako, $[x]$ klaseak bi ordezkari ditu: $x$ eta $-x$. $[0]$ klaseak, ordea, ordezkari bakarra du: $0$. Beraz,
   $\mathbb{Z}/{ℛ}_5=\{[x]/x\in \mathbb{Z}\}=\{[0]\}\cup \{[x]/x\in {\mathbb{Z}}^{+}\}=\{[0]\}\cup \{[x]/x\in {\mathbb{Z}}^{-}\}.$

3.3.4 n moduluko kongruentzia

3.38 Definizioa. Izan bedi $n\in \mathbb{Z}$, $n>1$. $a,b\in \mathbb{Z}$ izanik, $a$ $b$-rekin kongruentea da modulu $n$, eta $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ idatziko dugu, $n\mid a-b$ bada, hau da, $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}$, non $a=b+kn$ den (ikus 4.1 Definizioa).

3.39 Adibideak.

1. $17\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ da, $5\mid 15$ betetzen delako, hau da, $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }17-2=5k$ den.
2. $-23\equiv -5(\mathrm{mod}6)$ da, $6\mid -18$ betetzen delako, hau da, $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }-23+5=6k$ den.
3. $-7\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ da, $3\mid -9$ betetzen delako, hau da, $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }-7-2=3k$ den.
4. $-7\equiv ̸2(\mathrm{mod}4)$ da, $4\mid ̸-9$ betetzen delako, hau da, $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }-7-2=4k$ den.

3.40 Teorema. Izan bedi $n\in \mathbb{Z}$, $n>1$. $n$ moduluko kongruentzia baliokidetasun-erlazioa da $\mathbb{Z}$ multzoan.

Froga.

$n$ moduluko kongruentzia $\mathbb{Z}$ multzoan bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra dela frogatu behar dugu.

1. Bihurkorra. Hau frogatu behar da:
   $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z})x\equiv x(\mathrm{mod}n).$
   Izan bedi $x\in \mathbb{Z}$. $x-x=0=0\cdot n$ betetzen da; hortaz, $n\mid x-x$ betetzen da; eta hortik $x\equiv x(\mathrm{mod}n)$.
2. Simetrikoa. Hau frogatu behar da:
   $(\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{Z})x\equiv y(\mathrm{mod}n)⟹y\equiv x(\mathrm{mod}n).$
   Izan bitez $x,y\in \mathbb{Z}$.
   $\begin{array}{c}x\equiv y(\mathrm{mod}n)⟹n\mid x-y⟹\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},\text{ non }x-y=kn⟹\\ ⟹\mathrm{\exists }(-k)\in \mathbb{Z},\text{ non }y-x=(-k)n⟹n\mid y-x⟹y\equiv x(\mathrm{mod}n).\end{array}$
3. Iragankorra. Hau frogatu behar da:
   $(\mathrm{\forall }x,y,z\in \mathbb{Z})x\equiv y(\mathrm{mod}n)\text{ eta }y\equiv z(\mathrm{mod}n)⟹x\equiv z(\mathrm{mod}n).$
   Izan bitez $x,y,z\in \mathbb{Z}$.

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\equiv y(\mathrm{mod}n)\\ y\equiv z(\mathrm{mod}n)\end{array}\}⟹\begin{array}{c}n\mid x-y\\ n\mid y-z\end{array}\}⟹\begin{array}{c}\mathrm{\exists }{k}_1\in \mathbb{Z},\text{ non }x-y=k_{1}n\\ \mathrm{\exists }{k}_2\in \mathbb{Z},\text{ non }y-z=k_{2}n\end{array}\}\\ \text{ eta }x-y\text{ balioari }y-z\text{ balioa gehituz, esan dezakegu }\\ \mathrm{\exists }(k_1+k_2)\in \mathbb{Z},\text{ non }x-z=(k_1+k_2)n⟹n\mid x-z⟹x\equiv z(\mathrm{mod}n).\end{array}$ $◻$ $◼$ $◻$

Baliokidetasun-erlazio honetarako zatidura-multzoa bi eratan adierazi ohi da, $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ edo ${\mathbb{Z}}_n$:

$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n={\mathbb{Z}}_n=\{[x]/x\in \mathbb{Z}\}.$

$𝑛$ moduluko kongruentziaren baliokidetasun-klaseak lortzeko bidea:

$x\in \mathbb{Z}$ izanik, $𝑛$ moduluko kongruentziak sortutako $[x]$ baliokidetasun-klasea kalkulatzeko, lehendabizi klasearen ordezkari bat aukeratuko dugu.

Horretarako, Euklidesen teorema erabiliz, $x$ zati $n$ egingo dugu. Izan bedi $r$ zatidura euklidearraren hondarra; hau da, $x=qn+r$ da, $q,r\in \mathbb{Z}$ eta $0\le r<n$ izanik. Orduan, $x-r=qn$ dugu, eta, beraz, $n\mid x-r$ betetzen da, edo baliokidea dena, $x\equiv r(\mathrm{mod}n)$, hau da, $𝑛$ moduluko kongruentziaren arabera $xℛr$. Hortaz, 3.34 Teoremaren 2. propietatearen arabera, $[x]=[r]$. Beraz, $r$ hartuko dugu $[x]$ klasearen ordezkaritzat.

Ondoren, $[r]$ klasean dauden elementuak kalkulatuko ditugu.

$\begin{array}{cc}[r]& =\{y\in \mathbb{Z}/yℛr\}=\{y\in \mathbb{Z}/y\equiv r(\mathrm{mod}n)\}=\\ & =\{y\in \mathbb{Z}/n\mid y-r\}=\{r+kn/k\in \mathbb{Z}\}=\\ & =\{\cdots ,r-2n,r-n,r,r+n,r+2n,\cdots \}=\\ & =\{y\in \mathbb{Z}/r\text{ da }y\text{ zati }n\text{ zatidura euklidearraren hondarra}\}.\end{array}$

Horrela, $n$ klase lortuko ditugu (hondar posibleak adina klase), eta klaseen multzoa honela adieraziko dugu (3.36 Definizioa):

$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n={\mathbb{Z}}_n=\{[0],[1],\cdots ,[n-1]\}.$

3.41 Adibidea. Izan bedi 5 moduluko kongruentzia erlazioa. Zatidura multzoan 5 klase daude:

$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}5={\mathbb{Z}}_5=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}.$

Baliokidetasun-klase horietan dauden elementu batzuk emango ditugu:

$22\in [2]$ da. Erlazioa 5 moduluko kongruentzia izanik,

$22=2+5\cdot 4⟹22-2=5\cdot 4⟹\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}/22-2=5k⟹5\mid 22-2⟹22\equiv 2(\mathrm{mod}5)⟹22ℛ2⟹22\in [2].$

Hortaz, $22$ zenbakia 5 moduluko kongruentziaren arabera zein klasetan dagoen jakiteko, zatiketa euklidearra egingo dugu, $22$ zati $5$ egin eta $2$ hondarrarekin geratu.

Modu berean, $-22\in [3]$ da, $-22=(-5)\cdot 5+3$ delako, eta $-800\in [0]$ da, $-800=(-160)\cdot 5+0$ delako.

3.4 Funtzioak

3.4.1 Definizioak

3.42 Definizioa. $A$ eta $B$ multzoak izanik, $A$ multzotik $B$ multzora doan funtzio bat $A$ multzoaren elementu bakoitzari $B$ multzoaren elementu bakar bat esleitzen dion $f$ lege bat da.

$f$ $A$ multzotik $B$ multzora doan funtzio bat dela adierazteko honela idatziko dugu:

$f:A⟶B\text{ edo }A\stackrel{f}{⟶}B.$

$A$ $f$ funtzioaren abiaburu multzoa da eta $B$ $f$ funtzioaren helburu multzoa da.

$f$ funtzioak $a\in A$ elementuari $b\in B$ elementua esleitzen badio, esango dugu $b$ dela $a$-ren ($f$-ren bidezko) irudia, eta $a$ dela $b$-ren ($f$-ren bidezko) aurreirudi bat. Eta honela adieraziko dugu:

$f(a)=b\text{ edo }a⟼b.$

3.43 Adibideak.

1. $h$ funtzio hau izanik:

   $\begin{array}{cccc}h:& \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & x+1.\end{array}$

   $7\in \mathbb{N}$ elementuaren irudia $8$ da, $h(7)=8$. $1\in \mathbb{N}$ elementuak aurreirudi bat du: $0$, $h(0)=1$. $0\in \mathbb{N}$ elementuak ez du aurreirudirik, $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{N}/h(x)=0$ den.

2. $l$ funtzio hau izanik:

   $\begin{array}{cccc}l:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{c}0,x\text{ bikoitia bada,}\\ 1,x\text{ bakoitia bada.}\end{array}\end{array}$

3. $p$ funtzio hau izanik:

   $\begin{array}{cccc}p:& {ℝ}^2& ⟶& ℝ\\ & (x_1,x_2)& \mapsto & x_1.\end{array}$

   $(1,2)\in {ℝ}^2$ elementuaren irudia $p(1,2)=1$ da.

4. Ondokoak ez dira funtzioak:

   $\begin{array}{cccc}f:& \{1,2,3\}& ⟶& \{a,b,c,d\}\\ & 1& \mapsto & a\\ & 1& \mapsto & b\\ & 2& \mapsto & c\\ & 3& \mapsto & d.\end{array}$

   Ez da funtzioa, abiaburu multzoaren $1$ elementuari bi elementu esleitzen baitizkio helburu multzoan ($1$-ak bi irudi ditu).

   $\begin{array}{cccc}g:& \{1,2,3\}& ⟶& \{a,b\}\\ & 1& \mapsto & a\\ & 2& \mapsto & b.\end{array}$

   Ez da funtzioa, abiaburu multzoaren $3$ elementuari ez diolako elementurik esleitzen helburu multzoan ($3$ak ez du irudirik).

   $\begin{array}{cccc}h:& \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & x-1.\end{array}$

   $0$ak ez du irudirik.

   $\begin{array}{cccc}j:& \mathbb{N}& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & \sqrt{x}.\end{array}$

   Pentsa genezake $4$ak bi irudi dituela, $-2$ eta $2$. Baina ez da horrela. Erro karratua funtziotzat hartzeko, $+$ eta $-$ ikurren artean aukeratu behar dugu; bestela esanda, $f(x)=+\sqrt{x}$ eta $f(x)=-\sqrt{x}$ bi funtzio dira. $+$ ikurra normalean ez da jartzen erroaren aurrean. Orduan, kasu honetan, $j(4)=+\sqrt{4}=2$ da.

3.44 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzioa izanik, ondoko multzo honi $f$ funtzioaren grafo deituko diogu:

$G_f:=\{(x,f(x))/x\in A\}.$

Ohar gaitezen $G_f\subseteq A\times B$ dela, eta $A$-ren elementu bakoitza behin bakarrik agertzen dela $G_f$ multzoaren elementuen lehenengo osagai gisa.

3.45 Adibideak.

1. $h$ funtzio bat eta $G_h$ bere grafoa:

   $\begin{array}{cccc}h:& \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & x+1.\end{array}{G}_h=\{(x,x+1)/x\in \mathbb{N}\}.$

2. $l$ funtzio bat eta $G_l$ bere grafoa:

   $\begin{array}{cccc}l:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{c}0,x\text{ bikoitia bada,}\\ 1,x\text{ bakoitia bada.}\end{array}\end{array}$

   $G_l=\{(x,0)/x\in \mathbb{Z}\text{ eta }x\text{ bikoitia da}\}\cup \{(x,1)/x\in \mathbb{Z}\text{ eta }x\text{ bakoitia da}\}.$

Beraz, funtzio bat izanik, grafo bat definitzen dugu. Alderantziz ere beteko da. Hau da, $G\subseteq A\times B$ multzo bat izanik, $A$-ren elementu bakoitza behin bakarrik agertzen delarik $G$-ren elementuen lehenengo osagai gisa, $f:A⟶B$ funtzio bat dago, zeinaren grafoa $G$ den.

3.46 Definizioa. $f$ eta $g$ funtzioak berdinak direla esango dugu, eta $f=g$ idatziko dugu, hau betetzen badute:

1. $A$ abiaburu multzo bera badute;
2. $B$ helburu multzo bera badute;
3. $(\mathrm{\forall }x\in A)f(x)=g(x)$ bada.

3.47 Adibidea. Funtzio hauek izanik:

$\begin{array}{cccc}f:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2,\end{array}\begin{array}{cccc}g:& \{-3,3\}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2,\end{array}$

$\begin{array}{cccc}h:& \{-3,3\}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & x^2,\end{array}\begin{array}{cccc}k:& \{-3,3\}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & 9.\end{array}$

$f\ne g$ da, $f$ eta $g$ funtzioek ez baitute abiaburu multzo bera; $g\ne h$ da, $g$ eta $h$ funtzioek ez baitute helburu multzo bera; eta $g=k$ da:

1. $g$ eta $k$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $\{-3,3\}$;
2. $g$ eta $k$ funtzioek helburu multzo bera dute: $\mathbb{Z}$; eta
3. $(\mathrm{\forall }x\in \{-3,3\})g(x)=9=k(x)$ betetzen dutelako.

3.48 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzioa izanik eta abiaburu multzoaren $A_1\subseteq A$ azpimultzo bat izanik, ondoko funtzioari $f$ funtzioaren $A_1$ multzorako murrizketa deituko diogu, eta $f{\mid }_{A_1}$ adieraziko dugu:

$\begin{array}{cccc}f{\mid }_{A_1}:& A_1& ⟶& B\\ & x& \mapsto & f(x).\end{array}$

3.49 Adibidea.

$\begin{array}{cccc}f:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2;\end{array}\begin{array}{cccc}f{\mid }_{\{-3,3\}}:& \{-3,3\}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2.\end{array}$

3.50 Definizioa. $A$ multzoa izanik, $A$ multzoaren gaineko identitate funtzioa $i{d}_A$ edo $1_A$ adieraziko dugu eta honela definituko dugu:

$\begin{array}{cccc}i{d}_A:& A& ⟶& A\\ & x& \mapsto & x.\end{array}$

3.51 Definizioa. $A$ multzoa izanik, funtzio karakteristiko deituko diogu eta $f_A$ adieraziko dugu ondoko funtzio honi:

$\begin{array}{cccc}{f}_A:& U& ⟶& \{0,1\}\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{c}1,x\in A\text{ bada,}\\ 0,x\in ̸A\text{ bada,}\end{array}\end{array}$

non $U$ multzo unibertsala baita.

3.52 Adibidea. Demagun multzo unibertsala $\mathbb{Z}$ dela.

$\begin{array}{cccc}{f}_{\mathbb{N}}:& \mathbb{Z}& ⟶& \{0,1\}\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{c}1,x\ge 0\text{ bada,}\\ 0,x<0\text{ bada.}\end{array}\end{array}$

3.53 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzioa eta $A_1\subseteq A$ azpimultzoa izanik, $A_1$-en elementu guztien irudien multzoari $A_1$ azpimultzoaren ($f$-ren bidezko) irudi deituko diogu eta $f(A_1)$ adieraziko dugu; hau da,

$f(A_1):=\{f(x)/x\in A_1\}.$

Ohar gaitezen $f(A_1)\subseteq B$ dela.

Hitzarmena. $f(\mathrm{\varnothing }):=\mathrm{\varnothing }$.

3.54 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzioa izanik, $f(A)$ multzoari $f$ funtzioaren irudi multzo deitzen zaio eta Im$f$ adierazten da; hau da,

Im$f:=\{f(x)/x\in A\}.$

3.4.2 Funtzio-motak

3.55 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzio injektiboa dela esango dugu $A$-ren elementu desberdinek irudi desberdinak badituzte $B$ multzoan. Hau da,

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A)x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)\text{ betetzen bada},$

edo, baliokidea dena,

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A)f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2\text{ betetzen bada}.$

3.56 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzio surjektiboa dela esango dugu $B$-ren elementu guztiek gutxienez aurreirudi bat badute $A$ multzoan. Hau da, $Imf=B$ bada, edo, gauza bera dena:

$\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }x\in A,\text{ non }f(x)=y\text{ den}.$

3.57 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzio bijektiboa dela esango dugu injektiboa eta surjektiboa bada.

3.58 Adibideak.

1. $f:ℝ⟶ℝ$, $f(x)=3x+1$.

   • $f(x)$ funtzioa injektiboa da: $x_1\ne x_2⟹3x_1\ne 3x_2⟹3x_1+1\ne 3x_2+1⟹f(x_1)\ne f(x_2).$

   • $f(x)$ funtzioa surjektiboa da: $y\in ℝ$ izanik, $\mathrm{\exists }x\in ℝ/f(x)=y?$

     $y=f(x)⟹y=3x+1⟹x=\frac{y-1}{3}\in ℝ$; beraz, bai.

   • Ondorioz, $f(x)$ funtzioa bijektiboa da.

2. $g:\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$, $g(x)=x+1$.

   • $g$ injektiboa da: izan bitez $x_1,x_2\in \mathbb{N}$ edozein, $g(x_1)=g(x_2)⟹x_1+1=x_2+1⟹x_1=x_2.$

   • $g$ ez da surjektiboa: $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{N},\text{ non }g(x)=0\text{ den, hau da, }x+1=0$.

3. $|\cdot |:ℝ⟶ℝ$, balio absolutua:

   $|x|=\{\begin{array}{cc}-x,& x<0,\\ x,& 0\le x.\end{array}$

   • Ez da injektiboa: $|2|=|-2|=2$, eta $2\ne -2$.

   • Ez da surjektiboa: $\mathrm{\forall }x\in ℝ|x|\ge 0$ da; hau da, $\mathrm{\exists }x\in ℝ/|x|=-1$.

4. $p:{ℝ}^2⟶ℝ$, $p(x_1,x_2)=x_1$.

   • $p$ ez da injektiboa: $p(1,\pi )=p(1,0)$, baina $(1,\pi )\ne (1,0)$.

   • $p$ surjektiboa da: $\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }(x_1,x_2)=(y,0)\in {ℝ}^2,\text{ non }p(x_1,x_2)=y\text{ den}.$

     Ohar gaitezen $y\in ℝ$ elementu bakoitzak aurreirudi bat baino gehiago duela; guk bat aukeratu dugu, baina infinitu daude; esaterako, $p(y,\pi )=y$.

3.59 Adibidea. $A$ multzoa izanik, $A$ multzoaren gaineko identitatea,

$\begin{array}{cccc}i{d}_A:& A& ⟶& A\\ & x& \mapsto & x,\end{array}$

injektiboa eta surjektiboa da. Hortaz, bijektiboa da.

3.4.3 Alderantzizko funtzioa

3.60 Teorema. Funtzio bijektiboen karakterizazioa

$f:A⟶B$ funtzio bat izanik, $f\text{ bijektiboa da}⟺\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }!x\in A/f(x)=y\text{ betetzen bada}.$

Froga.

$⟹$)

$f$ bijektiboa denez, surjektiboa da; beraz, hau beteko du:

$\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }x\in A/f(x)=y.$

Ikus dezagun $x\in A$ hori bakarra dela. $\mathrm{\exists }{x}_1,x_2\in A$ baleude, non $f(x_1)=y$ eta $f(x_2)=y$ diren, orduan $f(x_1)=f(x_2)$ izango litzateke. Eta $f$ injektiboa denez, $x_1=x_2$ beteko litzateke.

$⟸$ )

Demagun $\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }!x\in A/f(x)=y$ betetzen dela.

$\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }!x\in A/f(x)=y$ betetzen bada, $f$ surjektiboa da, surjektiboa izateko nahikoa delako $x\in A$ existitzea.

Ikus dezagun $f$ injektiboa dela.

Har ditzagun $x_1,x_2\in A$, eta demagun $f(x_1)=f(x_2)$ dela. $f(x_1),f(x_2)\in B$; beraz, $\mathrm{\exists }!x\in A/f(x)=f(x_1)=f(x_2)$; orduan, $x=x_1=x_2$ izango da, $x\in A$ bakarra delako. $◻$ $◼$ $◻$

Orduan, $f:A⟶B$ funtzio bijektibo bat izanik, $\mathrm{\forall }y\in B\mathrm{\exists }!x\in A/f(x)=y$. Beraz, esan dezakegu $y\in B$ horri $x\in A$ bakar bat dagokiola; hau da, badago lege bat $y\in B$ bakoitzari $x\in A$ bakar bat esleitzen diona.

3.61 Definizioa. $f:A⟶B$ funtzio bijektibo bat izanik, honako funtzio honi $f$ funtzioaren alderantzizko funtzio deituko diogu, eta $f^{-1}$ idatziko dugu:

$\begin{array}{cccc}{f}^{-1}:& B& ⟶& A\\ & y& \mapsto & x,\text{ non }f(x)=y.\end{array}$

3.62 Adibidea. $f:ℝ⟶ℝ$, $f(x)=3x+1$, funtzioa bijektiboa denez, alderantzizko funtzioa honela defini dezakegu:

$y\in ℝ$ izanik, $\mathrm{\exists }!x\in ℝ/f^{-1}(y)=x$, non $f(x)=y$ den; beraz, $3x+1=y$ da, eta hortik, $x=\frac{y-1}{3}$ aterako dugu. Orduan,

$f^{-1}:ℝ⟶ℝ$, $f^{-1}(y)=\frac{y-1}{3}$ $f$ funtzioaren alderantzizko funtzioa da.

3.63 Ondorioa. $f:A⟶B$ funtzio bijektiboa izanik, $f$ funtzioaren alderantzizko funtzioa $f^{-1}:B⟶A$ bada, propietate hauek beteko dituzte:

1. $(\mathrm{\forall }x\in A)(\mathrm{\forall }y\in B)f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y.$
2. $(\mathrm{\forall }x\in A)f^{-1}(f(x))=x.$
3. $(\mathrm{\forall }y\in B)f(f^{-1}(y))=y.$

3.64 Teorema. Funtzio bijektibo baten alderantzizko funtzioa ere bijektiboa da.

3.65 Adibidea. $f:ℝ⟶ℝ$, $f(x)=3x+1$, funtzio bijektiboa denez, $f^{-1}:ℝ⟶ℝ$, $f^{-1}(y)=\frac{y-1}{3}$, alderantzizko funtzioa ere bijektiboa da.

3.4.4 Funtzioen konposizioa

3.66 Definizioa. $f:A⟶B$ eta $g:B⟶C$ funtzioak izanik, $f$ eta $g$ funtzioen arteko funtzio konposatu deituko diogu, eta $g\circ f$ idatziko dugu, honako funtzio honi:

$\begin{array}{cccc}g\circ f:& A& ⟶& C\\ & x& \mapsto & g(f(x)).\end{array}$

Ohar gaitezen $g\circ f$ definitu ahal izateko, $f$ funtzioaren helburu multzoak bat etorri behar duela $g$ funtzioaren abiaburu multzoarekin.

$\begin{array}{cccccc}g\circ f:& A& \stackrel{f}{⟶}& B& \stackrel{g}{⟶}& C\\ & x& ⟼& f(x)& ⟼& g(f(x)).\end{array}$

$g\circ f$ funtzioa ongi definiturik dago:

• Abiaburu multzoko elementu bakoitzak irudi bat du helburu multzoan: $x\in A⟹f(x)\in B⟹g(f(x))\in C.$
• Abiaburu multzoko elementu bakoitzaren irudia bakarra da: $x_1,x_2\in A$ izanik, $x_1=x_2⟹f(x_1)=f(x_2)⟹g(f(x_1))=g(f(x_2)).$

3.67 Adibideak.

1. $f$ eta $g$ funtzio hauen $g\circ f$ funtzio konposatua horrela kalkulatuko dugu:

   $\begin{array}{cccc}f:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& \mapsto & x^2,\end{array}\begin{array}{cccc}g:& \mathbb{N}& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & x+3,\end{array}\begin{array}{cccc}g\circ f:& \mathbb{Z}& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & x^2+3.\end{array}$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+3.$

   Ohar gaitezen ezin dela $f\circ g$ definitu, $g$ funtzioaren helburu multzoa ez datorrelako bat $f$ funtzioaren abiaburu multzoarekin.

2. $h$ eta $j$ funtzio hauen $j\circ h$ eta $h\circ j$ funtzio konposatuak horrela kalkulatuko ditugu:

   $\begin{array}{cccc}h:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2,\end{array}\begin{array}{cccc}j:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x+3.\end{array}$ $\begin{array}{cccc}j\circ h:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & x^2+3,\end{array}\begin{array}{cccc}h\circ j:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & x& \mapsto & (x+3{)}^2.\end{array}$ $(j\circ h)(x)=j(h(x))=j(x^2)=x^2+3.(h\circ j)(x)=h(j(x))=h(x+3)=(x+3{)}^2.$

   Beraz, nahiz eta $h\circ j$ eta $j\circ h$ funtzio konposatuak existitu, ez dira berdinak, hots, $h\circ j\ne j\circ h$.

Adibideetan ikusi dugu, oro har, funtzioen konposizioa ez dela trukakorra.

3.68 Propietateak.

1. Funtzioen konposizioa elkarkorra da.

   $f:A⟶B$, $g:B⟶C$ eta $h:C⟶D$ funtzioak izanik,

   $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$

2. $f:A⟶B$ funtzioa izanik,

   $f\circ i{d}_A=f,i{d}_B\circ f=f.$

3. $f:A⟶B$ funtzio bijektiboa izanik,

   $f^{-1}\circ f=i{d}_A,f\circ f^{-1}=i{d}_B.$

4. Funtzio surjektiboen funtzio konposatua surjektiboa da.

   $f:A⟶B$ eta $g:B⟶C$ funtzioak izanik,

   $f,g\text{ surjektiboak }⟹g\circ f\text{ surjektiboa.}$

5. Funtzio injektiboen funtzio konposatua injektiboa da.

   $f:A⟶B$ eta $g:B⟶C$ funtzioak izanik,

   $f,g\text{ injektiboak }⟹g\circ f\text{ injektiboa.}$

6. Funtzio bijektiboen funtzio konposatua bijektiboa da.

   $f:A⟶B$ eta $g:B⟶C$ funtzioak izanik,

   $f,g\text{ bijektiboak }⟹g\circ f\text{ bijektiboa.}$

7. $f:A⟶B$ eta $g:B⟶C$ funtzio bijektiboak izanik (beraz, $g\circ f$ bijektiboa da),

   $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Oharra. Elkartze-propietateari esker, $h\circ g\circ f$ idatz dezakegu parentesiak jarri gabe.

Idazkera. $f^n=f\circ \stackrel{n}{\cdots }\circ f$.

Froga.

1. Ikusteko zeintzuk diren $h\circ (g\circ f)$ funtzioaren abiaburu multzoa eta helburu multzoa, lehenago, $g\circ f$ funtzioarenak ikusiko ditugu:

   $g\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C,$
   eta gero, $h\circ (g\circ f)$ funtzioarenak:
   $h\circ (g\circ f):A\stackrel{g\circ f}{⟶}C\stackrel{h}{⟶}D.$
   Ikusteko zeintzuk diren $(h\circ g)\circ f$ funtzioaren abiaburu multzoa eta helburu multzoa, lehenago, $h\circ g$ funtzioarenak ikusiko ditugu:
   $h\circ g:B\stackrel{g}{⟶}C\stackrel{h}{⟶}D,$
   eta gero, $(h\circ g)\circ f$ funtzioarenak:
   $(h\circ g)\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{h\circ g}{⟶}D.$
   Ikus dezagun, orain, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ betetzen dela.

   • $h\circ (g\circ f)$ eta $(h\circ g)\circ f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

   • $h\circ (g\circ f)$ eta $(h\circ g)\circ f$ funtzioek helburu multzo bera dute: $D$.

   • $(\mathrm{\forall }x\in A)(h\circ (g\circ f))(x)=((h\circ g)\circ f)(x)$:

     $(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)));$
     $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x))).$

2. • $f\circ i{d}_A:A\stackrel{i{d}_A}{⟶}A\stackrel{f}{⟶}B,f:A⟶B$.

     • $f\circ i{d}_A$ eta $f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $f\circ i{d}_A$ eta $f$ funtzioek helburu multzo bera dute: $B$.

     • $(\mathrm{\forall }x\in A)(f\circ i{d}_A)(x)=f(x)$:

       $(f\circ i{d}_A)(x)=f(i{d}_A(x))=f(x).$

   • $i{d}_B\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{i{d}_B}{⟶}B,f:A⟶B$.

     • $i{d}_B\circ f$ eta $f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $i{d}_B\circ f$ eta $f$ funtzioek helburu multzo bera dute: $B$.

     • $(\mathrm{\forall }x\in A)(i{d}_B\circ f)(x)=f(x)$:

       $(i{d}_B\circ f)(x)=i{d}_B(f(x))=f(x).$

3. • $f^{-1}\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{f^{-1}}{⟶}A,i{d}_A:A⟶A$.

     • $f^{-1}\circ f$ eta $i{d}_A$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $f^{-1}\circ f$ eta $i{d}_A$ funtzioek helburu multzo bera dute: $A$.

     • $(\mathrm{\forall }x\in A)(f^{-1}\circ f)(x)=i{d}_A(x)$:

       $(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x=i{d}_A(x).$

   • $f\circ f^{-1}:B\stackrel{f^{-1}}{⟶}A\stackrel{f}{⟶}B,i{d}_B:B⟶B$.

     • $f\circ f^{-1}$ eta $i{d}_B$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $B$.

     • $f\circ f^{-1}$ eta $i{d}_B$ funtzioek helburu multzo bera dute: $B$.

     • $(\mathrm{\forall }y\in B)(f\circ f^{-1})(y)=i{d}_B(y)$:

       $(f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=y=i{d}_B(y).$

4. $g\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C$. Demagun $f$ eta $g$ surjektiboak direla.

   Frogatu behar dugu $g\circ f$ surjektiboa dela. Hau da,

   $\mathrm{\forall }z\in C\mathrm{\exists }x\in A/(g\circ f)(x)=z\text{ betetzen dela}.$

   Izan bedi $z\in C$ edozein. $g$ surjektiboa denez, $\mathrm{\exists }y\in B/g(y)=z$.

   $y\in B$ denez eta $f$ surjektiboa denez, $\mathrm{\exists }x\in A/f(x)=y$.

   Orduan, $z=g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)$. Hortaz, $\mathrm{\exists }x\in A/(g\circ f)(x)=z$.

5. $g\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C$. Demagun $f$ eta $g$ injektiboak direla.

   Frogatu behar dugu $g\circ f$ injektiboa dela. Hau da,

   $(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A)(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)⟹x_1=x_2\text{ betetzen dela}.$
   Izan bitez $x_1,x_2\in A$ edozein,
   $\begin{array}{c}(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)⟹g(f(x_1))=g(f(x_2))⟹\\ ⟹f(x_1)=f(x_2),(g\text{ injektiboa delako) }⟹x_1=x_2,(f\text{ injektiboa delako).}\end{array}$

6. Aurreko bi propietateen ondorio zuzena da.

7. $g\circ f:A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C,(g\circ f{)}^{-1}:C⟶A,f^{-1}\circ g^{-1}:C\stackrel{g^{-1}}{⟶}B\stackrel{f^{-1}}{⟶}A$

   • $(g\circ f{)}^{-1}$ eta $f^{-1}\circ g^{-1}$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $C$.

   • $(g\circ f{)}^{-1}$ eta $f^{-1}\circ g^{-1}$ funtzioek helburu multzo bera dute: $A$.

   • $(\mathrm{\forall }z\in C)(g\circ f{)}^{-1}(z)=(f^{-1}\circ g^{-1})(z)$:

     Izan bedi $z\in C$ edozein. $(g\circ f{)}^{-1}(z)=(f^{-1}\circ g^{-1})(z)$ betetzen dela frogatzeko, nahikoa da $(g\circ f)((f^{-1}\circ g^{-1})(z))=z$ frogatzea:

     $(g\circ f)((f^{-1}\circ g^{-1})(z))=(g\circ f\circ f^{-1}\circ g^{-1})(z)=(g\circ i{d}_B\circ g^{-1})(z)=$ $=(g\circ g^{-1})(z)=i{d}_C(z)=z.$ $◻$ $◼$ $◻$